Il6o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



OÙ (^) csl un pulynonic cnlicr en .r de degré l\h — •) qui vérifie Fidentilé 



( 3 ) " ~ ■ ' I I 4- « .V ) (") + "^ ^ P (i._^f,Y^ + (x + (i){\~\a.t)<y\ ni X 



L " /( I 



- ('./ini-t-r ) { .r + a) (i + a .r ) (* 



---- i/-l',/,Hi ~ 1)1. r\', ,,__,) (I -t- ]!,,r -+-. . . '- H/, ,.'■''-! )-. 



1/éliniiiialion des coefficiciils de (^ fournil deux relations. Les -2//-^- 1 

 inconnues devant vérifier A + 3 relations, on peut espérer, si /i ^2. oblenir 

 des solutions k li — 1 arbitraires; la courbe A, obtenue correspond biration- 

 nellement à la courbe plane Q"= ^ ^^^ q u i n'est pas du type hypcrcllip- 

 tique, à moins que m ou n ne soient égaux à i ou 2. 



.'}. Nous savons qu'un dénombrement d'inconnues et d'équations est tout 

 à fait insuffisant pour assurer Vexistcnce, puis la réalité des solutions, 

 lîemarquons d'abord que les deux équations déduites de (3) sont de la 

 forme X ^ o. («- — i) Y = o, où \ et Y sont certaines fonctions de 



A, A , B|. .... a\ car 



I\/,^,(— «,) = 

 et 



P2/,-i(— «)=/■'(' — «')(B,-,^,— B/,_,« -!-.«..)( A/,— A/, ,«+...), 



de sorte qu'en remplaçant x par ( — a) dans (3) on a bien le facteur a- — i 

 aux deux membres. Supposons /< > 3 de façon à nous réserver une arbitraire : 

 suivant qu'on égale à zéro le facteur à- — 1 ou \ , on a deux systèmes 

 distincts ; le premier fournit une famille F, de courbes unicursales ii 

 h — -2. arbitraires, qui ne consliluenl pas la vraie solution, mais (|ue nous 

 déterminerons néanmoins soigneusement : par exemple, pour /• =^ o, «2 = i , 

 A = 3, ce calcul a été fait dans mon Mémoire de l'Ecole Normale (kjiç), 

 p. 33G); celle famille F, existe donc, avec une infinité de courbes réelles, 

 pourvu (|ue — soit suffisamment petit, lout au moins pour h = 3. Considé- 

 rons maintenant le facteur Y = o qui donne la vraie solution cherchée : 

 a étant supposé difTérent de ±: i, faisons tendre a vers -l- 1 ; dans la famille !•" 

 que nous éludions, nous obtiendrons alors un individu dégénéré, unicuisal. 

 appartenant évidemmeni à F, cette fois comme individu remarriiuihle. parce 

 qu'il satisfait, en plus des équations strictes de F,, à ré(|uati<)n limite de 

 V = o pour a = -h- I . Il s'agit, sans former Y, de trouver celle limite de ^ 

 et de donner l'interprétation géométrique de cette condition. Substituons 

 dans ( 3) (— o) à .r, divisons par a'- — \ cl remplaçons ensuite a par + i ; 

 opérons de même en substituant On obtienl 



'"-—^ (^^ - = (B/,^, - B,_, + B,_3 ...)\\„- A;,_. + A/,-, ...) = ^„"J!"^^)'„ <J(-0- 



