SÉANCE DU 17 MAI 1921. 121 9 



(nous les désignerons par (l,A^) les valeurs limites ( exlrêmes ou médianes) 

 de 11(0, u) quand u - zéro. Si les ^..F sont toujours linis, 1'" possède, 

 évidemment, le second caractère des fonctions résolubles (2, s). 



Même, si F'!, existe et est iini, la fonction F{(i) ne possède, généralement, 

 pas de dérivée première continue. Mais le raisonnement suivant (') met en 

 évidence certaines propriétés différentielles du premier ordre de F. 



Supposons que |R(0, u)\ et |li(0 -h /i, u)\ soient iiiféi'ieurs à un même 

 nombre A quel que soit u. Kn prenant la succession des points images 

 de -t- // par rapport au couple de points-miroirs 0, + X-, c'est-à-dire une 

 suite de points dont le premier est -+- // et dont chacun des autres est li- 

 symétrique du précédent par rapport à et à + /c alternativement, on 

 démontre la formule 



• 0(5, //) = (^^9, /.') ~(-ôA-^ (o-<i,.i^ - S 2 



Soit A,, /r,, ..., //„, ... une suite de nombres de signes quelconques 

 décroissant en valeur absolue et tendant vers zéro. Si \\((Lii) 

 et \\\{'i -\- /i, ii)\ sont, quel que soil u, inférieurs à un même .nombre A, 



et, si le rapport j-^ est inférieur à un nombre a indépendant de n : d'une 



part, ¥ possède une dérivée $(0) au point (cette conséquence subsisterait 

 avec une autre hypothèse moins précise sur la suite //„); d'' autre part., on a 



( 1 ) Q ( 0, // ) = A <I>( 6) 4- 4 ôa A h-, 



quel que soit \ h \ inférieur îi | /<„ | = 3t | A , | . 



Observons qu'en vertu du théorème de Baire, si les nombres '/, „F sont 

 Unis quel que soit sur l'ensemble parfait P, ou bien |R(0, u')\ est borné 

 quel que soit sur P et quel que soit u, ou bien il existe sur P un 

 ensemble Iv non dense sur P et tel que, à toute portion trr de P sans point 

 commun avec K, correspond un nombre A de façon que |R(0, «)|<^ A, 

 si est sur cr, et quel que soit u. 



Donc F(0) possède le troisième caractère des fonctions résolubles (2,5). 



Mais, de plus, en tout point de ro pour lequel existe une suite 4- //„, 



appartenant à rrr et telle que i < U-^ < y. (l'ensemble P sera dit 



posséder en un indice au plus égal à a), on a la l'orniule (i) 

 pour I /i 1 <[ a| //, |. 



( ') Académie des Sciences d'Anistcrdaiii, mai et juin 1920. 



