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On déduit de là que. si les nombres r/, . !•' sont finis sur un ensemble épais E, 

 il existe une pleine épaisseur H de E telle que, eu tout point de\{: i" V possède 

 pour dérivée ordinaire 4>(0) ; '2° <P(f)) possède une dérivée approximative /"f 0) ; 

 '}" y (0) est la dérivée seconde généralisée de V. El même, plus précisément, 

 on a une identité de la forme 



//' 



F(5 -h /() = F( 61) + /; <I>( 0) -( |/"(&)-f-£] avec lim£ = o. 



''■ ■ /, = o 



Enfin, du continu retranchons les segments spéciaux de P, sauf un nom- 

 bre limité d'entre eux. les segments g'. Soient E(c7') et Pf^') l'ensemble 

 fermé restant dans P et son noyau parfait. Pour toute portion ôt de P sans 

 points communs avec K et contenant une portion mi/j') de E(a-'). il 

 existe un nombre n positif tel que 



1" Pour tout point situé sur cr, | R(0,i/)| est inférieur, quelque soit u. à 

 un même nombre A; 2" si est sur rn( T')il existe une suite//,, /i.,, . . . , /i,, ..., 



dépendant de 0, mais telle que [//, | >> Tj et de manière que i < I 7-^ > 3, 

 -+- /(^.„ étant sur cT. 



Donc <1'(0) est continu et résoluble sur cî(a') [quatrième caractère des 

 fonctions résolubles (2,.v)J. 



En résumé, si F(0) possède une déiivée seconde généra Usée /(()) | tout au 

 moins sur une épaisseur pleine, R(0, u) ayant en tous cas ses limites d'iiidé- 

 termination pour u = o finies en chaque point |, F( 0) est résoluble (2, ,9) et 

 l'on a F,, ., --=/(^0) sur une épaisseur pleine. 



Donc,/(0) est inlégrable (T, ,). 



Supposons que /(O) soit la somme d'une série trigonométrique partout 

 convergente : 



«o-t- i((7„ cos/( ^ + A„sin&) = «n-t- — A„. 



/"est la dérivée seconde généralisée de 



•X ^^ n- 



()n a 



_ F(aH-27r) = F(c< — 9.7:)— o.F(a) 



ou, sans quitter un champ de longueur 2-, 



,. \Ha.)+ F(aM- 27:)— V(y. -+-//) — F(3! + 2- — // ) 



o„ '—. 1 1 m — : 



/. -, 2 7: A 



