SÉANCE DU 17 MAI I921. 1223 



connexes. Ceci comme conséquence du fait que tout contour fermé tracé à 

 l'intérieur de l'une de ces régions est nécessairement homologue à zéro, 

 ainsi qu'il résulte de l'examen de la structure du Tableau A. 



Pour les surfaces bilatérales, les « zéros » au second membre de (i) 

 signifient que si l'on parcourt dans un même sens tout le contour d'enca- 

 drement, on parcourra, nécessairement, le même nombre de fois dans 

 chaque sens, chacune des courbes Tj. 



Pour les surfaces unilatérales, le second membre de (2) indique que Z 

 serait parcouru deux fois de plus dans un sens que dans l'autre et qu'il en 

 serait de même des courbes Tj pour lesquelles le coefficient nij ne se réduit 

 pas à zéro. 



Dans chacun des seconds membres de (i) et (2), le nombre des contours 

 constitutifs du contour d'encadrement est le même. Ce nombre est A 4- 2. 

 On reconnaît là le nombre que l'on fait intervenir dans la formule d'Euler 

 proprement dite et par lequel on peut fixer, sans aucune distinction, l'ordre 

 de connexion des surfaces bilatérales ou unilatérales. 



ANALYSE iMATHÉMATIQUE. — Sur /es séries dont le terme général lend 

 vers zéro. Note de M. Bratu, présentée par M. Appell. 



1. Etant donnée la série à termes constants 



nous considérons, dans le plan de la variable complexe s, les points «„ 

 et S„, qui correspondent aux affixes de même nom. Nous dirons indifTé- 

 remmenl point :; ou nombre z-. 



Kn faisant la somme géométrique des vecteurs <>//,, <>'/^, ..., <*"„, on 

 obtient une ligne brisée ()S|So...S,,. Soient : E l'ensemble de tous les 

 points S„; E' l'ensemble dérivé de E cl supposons d'abord l'ensemble E 

 borné. 



Nous convenons de dire que tout nombre S' de l'ensemble E' est une 

 valeur limite de la série (i). Si E' est formé d'un seul élément S', la série (i) 

 esl convergente. Si E' est formé de /> nombres S,, S^, ..., S^,, nous dirons 

 que la série a ces p valeurs limites. En général, le nombre p peut être fini ou 

 infini; l'ensemble E' peut être dénombrable ou avoir la puissance du 

 continu. 



TiiÉouÈME. — si le terme général de la série l3nd rrrs zéro pour n — yz, il ne 

 peut arriver que ces deux cas extrêmes : 



