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i" < >u hien 1(1 série a une seule râleur limite; 



1" ()u bien l'ensemble des râleurs limites de lu série a la puissance du 

 continu. 



2. Séries à termes réels. — En supposant rt^S„56, nous démontrons que 

 si «„ tend vers zéro pour « -^ oc et si c et rf sont deux points limites distincts 

 de l'ensemble de points S„, tous les points de V intervalle {c, d) sont des points 

 limites de cet ensemble. 



Ainsi la série 



où le nombre des fractions égales est égal à leur dénominateur commun, 

 a o et I comme valeurs limites extrêmes. Donc l'ensemble E' est tout l'inter- 

 vdlle (o, I ). 



.3. Séries à termes complexes. — Posons S„ — a^„+M'„ et supposons 



Par hypothèse on a, pour n > N, 



|"«|-iS„-S„_,|<j 

 et a fortiori 



I i-,, — .i-,,- , I < £ , 1,1 •„ — Vn - 1 ! < J. 



Par suite, les deux séries à termes réels 



\ "'■iH-(-'-o-.r,)-t-(.r,— ,?■,)+. ..+ (.r„-.r„_, )+..., 

 '■ Ji -I- (y-i - .1-, ) -..- (y,— y, )+...+ (.)•„ - j,,^, ) + . . . 



rentrant dans la catégorie des séries étudiées plus haut. Les ensembles de 

 droites x = .r„ et y = y„ ont comme éléments limites : ou bien une seule 

 droite a; = ; ou v^=y], ou bien un ensemble continu de droites limites 

 compris entre deux droites extrêmes x rzz c, x = d ou r = y, y = o. 



Si a; = ^ est une droite limite, entre ,r = ^ — h et x = ^ ■+- h il existe une 

 infinité de points S„, aussi petit que soit h. Il en est de même pour les deux 

 droites y =^ /j — h, y ^ r^-^ li si v ~ r, est une droite limite de la seconde 

 catégorie. 



On voit facilement que : 



1° Si chacune des suites x„ et v„ a un seul élément limite ? el r^. la suite 

 S„ a une seule valeur limite : ç + /rj. 



2" Si la suite x„ a un seul élément limite x = ^, mais la suite v„ a comme 

 éléments limites tous les nombres d'un intervalle (y, o), la suite S„ a 

 comme valeurs limites les affixesdo tous les points du se^/nent x ^^, y^y^o. 



