SÉANCE DU 17 MAI 1921, 1225 



3" De même, si l'on change .v en y et y en a\ 



'1" Si la suite x„ a comme limites tous les nombres d'un intervalle (r, d) 

 et la suite v„ tous les nombres d'un intervalle (y, 0) et si j: = H est une 

 droite quelconque comprise entre x = c cl .v = r/, nous démontrons que : 



a. La ligne brisée L(()S| S^ . . . S„ . . .) coupe une infinilc de fois la 

 droite ^ = H. 



h. Sia- chaque droite .v = H il e.vis/c dii moins un point limite S' de l'eti- 

 semble K(S,, So, .... S„, . . .). 



( )n en conclut que, dans les trois derniers cas, l'ensemble K' (dérivé de E) 

 a la puissance du continu. 



4. Remarques. — 1° Si tous les points S„ se trouvent sur une même 

 courbe continue F, tous les points limites S^', se trouvent sur celte courbe. 

 Si A et B sont deux points limites distincts, les valeurs limites de la série 

 sont les af/ixes de tous les points d'un arc A' 15' :" arc AB de la courbe Y . 



Ainsi, les sommes S„, ^ -c -'' ' , où - sont les fractions 



(o) , , ..., , , , , o 



nii 2/1 2/1 :>.ii + i 2 /; -1- 1 2 /( H- 1 



pour « = I, 2, 3, .. ., prennent une infinité de fois les valeurs o et /'. Tous 



les points S„, se trouvent sur l'arc l\o, i) de la sjiirale p = '—■ et l'ensemble 



des valeurs limites de la série correspondante est formé par les affixes de 

 tous les points de l'arc Y. 



2" Si la ligne brisée L a une longueur déterminée, la série est absolument 

 convergente. Si la ligne L est infinie, mais si elle tend asymploliqnement 

 vers un point A pour n-^yz, la série est convergente sans être absolument 

 convergente. 



3° Il peut arriver que l'ensemble des valeurs limites E' remplisse complète- 

 ment une aire d,. Considérons les points A(i''), B{i-i-i), C(i), D{i — i), 

 E( — ?'). En divisant les segments AB et ED en quatre parties égales, on a les 

 points équidistants AldlvB et EIIFJD. Prenons comme L la ligne brisée 



OAHCDFGAOE11IGF,JKBC. . . , 



les côtés qui vont de O à C ou de C à O ayant respectivement les lon- 



II I T . , , r' .^ 



gueurs I, -) —> .... — 5 .... La suite des valeurs c*,,, est 



o '22- ' 2" ■ 



/ . I . I / I '■ 



(4) o. (, I-t-(, I, I ; I — ', 1, > 1 ' ■••• 



