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Soit r un(^ ligne, inlérioure à A, joignant a à !i, i-t telle que, lorsque a- 

 décrit r, de a à [î, l'équation H(jr. :■) = o ait une racine simple z(x) décri- 

 vant C de a k h {Y est extérieure à iR, ). Le but de cette Note est de montrer 

 cjue r est, pour la sohili'on f{x) de (i), une ligne de disconlijiuité arli/icielle 

 du type introduit par Hermite (coupures d'intégrales définies). 



2. Soient \ un point de F, auquel correspond "C sur C; x„ et x\ voisins 

 de ; de part et d'autre de F, auxquels correspondent r„ et z„ voisins de Ç et 

 de part et d'autre de C. 



Traçons la ligne F,, voisine de F, joignant y. à [i de façon que, lorsque .i- 

 décrit F,, :; décrive une ligne G,, intérieure à A,, joignant a à h. 



Pour préciser, le contour j'-F^F, a, décrit dans le sens positif, contient .r„ 

 et laisse x'^^ à l'extérieur; le contour f/C6C, « contient :;„ et laisse z[^ à Texté- 

 rieur. Envisageons les formules de l'Vedholm qui expriment la solution 

 de (i) par 



(2) /(,r) = 9(x)-/. rX(^, z,l)o{z.)clz. 



-'c 



Le noyau résolvant )X,(x, z, X) est défini par deux séries d'intégrales 



C0(.r, ;, l) et ®(/,) 



où les intégrales sont toutes prises, z décrivant C. 



Si X reçoit la valeur a"„ et ensuite la valeur .i:\^ ces intégrales ont un sens. 

 mais les valeurs de Œ){x, z, A) en x„ et x[^ ne sont pas voisines, bien que x„ 

 et jr',| soient voisins. Au contraire, cO( A) ne dépend pas de x. 



Appelons 5î,, (x, z, A) ce que devient DX,(x, z, A) lorsque les intégrations 

 sont faites sur C, et non plus sur C. On voit que {0( a) ne change pas et qu'on 

 a la relation 



;rb,(.r„, z, /.) = 3X.(.r„ z, /.) + ■■'■'->■ m'//!" ''"l ■'^'(■^"o. -^ >■), 



l"':(.-''o, -■o) 

 OÏ,,(,r;, z, l} — DZ{.r\,. z, /.). 



Donc, si l'on désigne par 



f,(.r) = ^{.r)-lf .JZ,(.r. z. ).) '^( z) dz, 



ce que deviennent les formules de l'"redliolm quand toutes les intégrations 

 se font sur C, on a 



C * ' ( ï"o " 1 ) 



ni ) /(■'■o)=/.(-'-û) — •^'■-'■■-pT— -— ■ /(--(,). 



