SÉANCE DU 23 MAI 1921. 1281 



[Lorsque : est dans .A,, les formules de Frcdliolm définissent sans difli' 

 cultéy(j;), qui est holomorphe dans Ji,.J 



Le terme ,.', ,' " "" , est le résidu de ' " ' pour le pôle ;„. 



3. Lorsque x^ et x'^ tendent vers ^, 



(^) (/(■^■o) tend vers /,(:)- 2,Va^^^/(?), 



(/(^.;) tend vers /.(;). 



Ory,(H) n'admet comme ligne singulière que F,, elle reste holomorphe en ^ 

 sur F; on voit donc que f{x) est prolnngeable analytiqucinent au delà de F. 

 Mais suivant qu'on passe de a.-,, à x-^ eu traversant F ou en ne la traversant 

 pas, le résultat final n'est pas le même. F est une ligne de discontinuité artifi- 

 cielle pour laquelle 



( 5 ) ^ I i"^ ^ [/( -K ) - A -r. )] .= 3 M. ^i|^ /C). 



4. Le résultat (5) peut s'établir directement à l'aide de l'équation ( i) 

 définissant /(a-). On forme la difTérence /(a"„) — /(x„) dans laquelle on 

 transforme les intégrales prises sur C en intégrales sur C,, il vient 



(6) /(■r„)-/(.r.,) 



En passant à la limite on obtient (5). 



Puis en formanty(.r„ ) -i- f(x'^) à l'aide de (i), et transformant encore en 

 intégrales prises sur C,, il vient 



(-)/(-'-o)+/(^'„) 



^_2,V/./(--o) ,^.^,"';' '':\ - / r/(: = } [N(.r- . .)+ \(^o, -^)] r/c + y(.ro)+ ?(:r,) 



qui, à la limite, donne 



lim[/(.rJ+/(^;)]=-2.VA/(0^^j + ■i?(c:)-2>.J^'(i:, =)/(--)^= 

 =-2.•T:>./(s^j|^+2/,(^). 



On en déduit que /{x„) et f(x\^) ont séparément des limites données 

 par (4). 



5. Ces considérations sont susceptibles de généralisations faciles rela- 

 tives au cas où "C n'est pas racine simple de H(£, 'C) = o, au cas où C est 

 fermée, etc. 



c. R., 1951, I" Semestre. (T. 172, N° 21.) 9'^ 



