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AXALYSE MATlIÉMAl IQL'E. — Sur 1rs polynômes liypci-gèométricjucs. 

 Note (If M. Pierre Himbert, présentée par M. Appell. 



Les intéressantes propriétés que vient d indiquer M. Félix Vaney pour 

 des polynômes analogues à ceux de Laguerre (*) ont attiré mon attention 

 sur une propriété du même genre, mais beaucoup plus générale, qui permet 

 de faire rentrer les polynômes hypergéomélriques dans la classe des poly- 

 nômes de M. Appell, et qui, je ciois, n'avait jamais été remarquée. 



I . Considérons le polynôme d'ordre n en \ défini par 



H„(;) = ;«I'(-«, 3, y, ^ 



où F est la fonction de Cîauss, !ii, y et X des constantes indépendantes de n, 

 11 est facile de voir que ce polynôme est de la classe de M. Appell : on a en 

 elTet 



77r = "^ 2 



___ï,V 



.^_j ■^ ( — n, m ) ( 3, m ) (m — n )'/.'" -,i-i\'' ^ f-*' '") * — n -h 1 , m) }.'" 



~' ' ■^^ (■/, /it )(l, m) >" ^ '■ Jm^ {y, lit) (i, m) ^"' 



La même propriété appartient évidemment au polynôme 



S„{;;) =z:"tl>(—n, y, l 



OÙ <I> est la fonction de Ivummer (cas limite de la fonction de Gauss ) définie 

 par 



( )r, le polynôme étudié par M. Vaney s'écrit précisément 



P„(.<;, rt) = a"<I)(_„. I, — - ), 



de sorte que', considéré comme fonction de «, il est du type ci-dessus et de 

 la classe de M. Appell : c'est lacuricuse propriété signalée par M. Vaney et 

 dont on comprend ici la véritable nature. 



(') (uniples rendus^ t. 172, 1921, p. iiDi. 



