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rinégalité 



/ \r(i) — ■'■{') \'' (il -^-nP 

 enUaînc linégalilc 



(2) ||-|[^(ni|-U|[.r(0]||^- 



Aous dirons qu'elle possède \ii propriété Ci,, dans un domaine si, quelque 

 petit que soit t, on peut déterminer it de manière que deux fonctions x(t) 

 et r(/)de ce domaine, ayant mêmes moyennes d'ordres i. 2 p dans 



cliacuu des intervalles ( > -j, vérifient nécessairement Tinégalité (2). 



Nous appellerons polynôme fonctionnel normal de classe p une somme 

 d'un nombre fini de termes de la forme 



1 I ■•■j o(l„ t,. ..., /„).r=^'{l,).r^:(/,)....T='r((,.)dl,dt,...dt,.^ 



les exposants a, étant au plus égaux à p, et la fonction o élant telle que 

 cette expression ait dans le domaine (i) la conlinuité uniforme de degré p 

 définie ci-dessus. 



On a le théorème suivant : 



La condition nécessaire et suffisante pour (ju'une fonctionnelle soit repré- 

 sentable dans le domaine (i) par une série uniformément concergente de 

 polynômes fonctionnels normaux de classes p est quelle y soit uniformément 

 continue de degré p et y possède la propriété G,,. 



Pouryj = I ce théorème se réduit, à une petite modification près dans le 

 domaine fonctionnel considéré, à un théorème démontré par Gâteaux ('"). 



2. Nous dirons que U possède \a propriété H dans un domaine si, quelque 

 petit que soit s, on peut déterminer 11 de manière que deux fonctions •»"(/) 

 et j'(/) de ce domaine ayant même foncliou sommatoire ( ■) dans chacun 



des inlervalles ( > -j> vérifient nécessairement l'inégalité (2). 



Celle propriété apparaît comme la limite de la propriété (j^, pour /j infini. 

 Elle caractérise sans doute les fonctionnelles représentables par des séries 

 uniformément convergentes de polynômes fonctionnels normaux de classes 

 (|uelcon(|ues. .le ne puis pour le moment donnera ce sujet un énoncé précis. 



(') Ace. dei Liiicei, \>a décembre igiS. 



('■') Au sens de M. Lebesgiie, la foncliou sommatoire y"(;) dejr(/') dans un inlervalle 

 esl la mesure de l'ensemlile des points de cel intervaiii^ pour lesquels v"^ i. 



