SÉANCE DU 23 MAI 1921. 1285 



t*()ur les fonelionnelles représenlables par dr telles séries, la valeur de la 

 moyenne dans une sphère de l'espace fonctionnel se calcule aisémenl parles 

 formules données par Galeaux ( ' ). 



Quoi qu'il en soit de la relation entre la propriété H et la représentation 

 par de telles séries, on a le théorème suivant : 



Pour les fonctionnelles vérifiant la propriété H, la moyenne dans une sphère 

 a toujours une valeur bien déterminée. 



3. C'est une circonstance connue que, dans l'espace fonctionnel, de deux 

 volumes donnés, l'un des deux est pres(|ue toujours négligeable devant 

 l'autre. En particulier, si Ton divise un volume V en deux parties, l'une voi- 

 sine de la surface extérieure S, l'autre intérieure à la précédente, la seconde 

 est toujours négligeable devant la première, et par suite, la movenne dans V 

 d'une fonctionnelle uniformément continue U ne dépend cjue de ses valeurs 

 sur la surface S. Cette remarque est précisée par l'énoncé suivant : 



La moyenne dans le volume V d'une fonclionnelle uniformément continue 

 est éi>ale à sa moyenne, calculée sur la surface S qui limite le volume V, en 

 accordant à des éléments de smfaces égaux des poids proportionnels aux 

 rayons de courbure moyenne de ces éléments. 



Il arrive d'ailleurs fréquemment que le rayon de courbure moyenne a 

 pres(]ue partout la même valeur; alors les moyennes dans V et sur S sont 

 égales. 



D'une manière générale, il existe des catégories étendues de surfaces sur 

 les(juelles toute fonclionnelle uniformément continue est presque partout 

 égale à sa moyenne m, c'est-à-dire, en termes précis, comprise entre m — t 

 et m -h t, quelque petit (jue soit £, sauf dans une fraction négligeable de l'aire 

 totale. Tel est le cas pour les surfaces convexes pour lesquelles le rayon de 

 courbure des sections normales est toujours inférieur à un nombre fixe R. 



Mais on peut aussi former des exemples de surfaces que l'on puisse diviser 

 en tranches d'aires comparables, et pour lesquelles Its valeurs de la cour- 

 bure moyenne soient différentes. Pour une telle surface, la moyenne d'une 

 fonctionnelle naura pas en général la même valeur sur la surface ou dans 

 le volume qu'elle limite. 



(') Bull. Soc. iitalh., i(j2o. 



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