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avec 



o 1 = I , ( /> -h o ) 1 ^= I , ( /.■ 4- ?-/J + o ) ! = I : 



d'où l'on déduit les propriétés suivantes de ces fonctions : 



J/,( X, J) = (-!)'•■ J_,.( .'■.—.>•), 

 J/,( .r,v) = (-!)'' Jy,(-X. J), 



Jt( -ï-, y)= J_/.(— X, — j), 



vérifiées pour toutes les valeurs de l'indice / entier ( ' ). 



b. Si, dans lexpression ( i ), on change ;/ en • > et si Ton multiplie cette 



nouvelle expressi(jn par la primitive, puis on la développe, en égalant les 

 termes indépendants de «, il vient 



A = + « 



V (-,y|IJ,(x,_r)=J„(2x), 



/, = - « 



doù, on prenant la dérivée, on trouve 



J,(2x)= 2 (-■)''•'■ J/.(-r, 7) J/,-.(.^-,,v), 

 A = - » 



V^ , , . d i iAj:. y) 



2^(~<)''J,(.r,.r)^^ =0. 



l*lnfin si, dans rcxponenlielle de la relation (i), on remplace a- et v 

 pir 2x- et iy, puis qu'on identifie avec le carré de l'exponentielle, on 

 obtient 



J:ï./,(2.r, ■}.r)r=iE,, ^ Jzp,:/+,,i(x, j) J^,,(.z-, r) 



avec 



formule qui, pour une variable, se réduit à la formule de M. Lonnnel | Hes- 

 se/.sche Fun/iL, p. 3i, '|8 (;5 12, 15)J. 



(') On vérifie .lisémciil ces pio]ii'it''lés aussi \>,\r la formule il) que nous avons 

 donnée dans le lliillelin des Sci'jtices nuilliciiKiliqucs, ■>' série, l. VI, février 1917- 



