SÉANCE DU 3o MAI I92I. l333 



ANALYSE MATHKMATIQUE. — Sur les développemeiUs de Ja :obi . Note 

 de M. EnwAXD Kocbeti.iantz, présentée par M. Appeli. 



Les polynômes hypergéométriques de Jacobi 'j?„* '^ (a;\ orlliogonauxdans 

 ( — I , +1), sont définis par la fonction génératrice 



(i - 9.XZ + Z'') '^(1 4- ; +^/i — ixz + ;-=)"(l — : + \ \—kx z + z'-)'^, (^<i. ,5<i). 



Supposons que /\x), sommable dans ( — i, + i ), ne devienne infinie aux 

 points IVontiers .r = — 1 et a; = 4- i que d'ordres moindres que i — a et 

 I — p respectivement. Le développement de f{x) en série de Jacobi 

 s'écrit : 



(0 /(-r)- 





'-+-.')"('— y )P 



Pour a = ^ = À, (i) se réduit au développement ullraspliérique 



de f{-v). Darboux, en étudiant la convergence de (i) aux points intérieurs 

 .r I <^ I , a établi ( ' ) que la série ( i) diverge partout, si les ordres d'infini- 

 tude de f(ir) aux points frontiers sont>7 ^et-r — -respectivement. 



Par exemple, 1î développement (i) de (i -1- a;)'" diverge partout, si a < - 



et I — a "> w > y ^^ ; c uoique cette fonction est à variation bornée et con- 



tinue dans (i — i, i). 



Mais en se bornant aux polynômes <f^'-^'(a-) avec a -i-JÎ<ocl|a — [^Ki, 

 on démontre le théorèmeque voici : 



Pour 7. -h '^ <^ o et \ y. — '^ \ <C i ' ^" ^erie (1 ) uu point x = x„ est sornmable 

 (C, > I — a — ^) avec la somme - [/(x„— o) -i-/(xo + o)] , si f{x) est 

 à variation bornée dans le voisinage de ce point intérieur x ^ x^'^la somma- 

 bilitè est uniforme dans tout intervalle de continuité de/(x), compris dans un 

 intervalle, où f(x) est à variation bornée. 



Par exemple le développement divergent de la fonction (i + xY" avec 



co > 7 est uniformément sommable (C, > i — a — p) vers la fonction 



développée dans l'intervalle i>a;^£ — i (£>o). 



C) Journal de Lioiuttle, 3' série, l. k, 1878, p. ogS. 



