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La déinonslration est basée sur un llioorème de Chapiiian (') et sur la 

 sommabililé ( C. o > i — a — ^) de la série 



/ ,,-t'-"^ /' ' — =< — h\ r( /i -H I ) r(« H- 1 — « — 3) ,,,, ,. , ,,,,,0, , 



^ ' ^\ ■>. / 1 (// -Hi — j:)1 (// +1 — ,:i) n \ ; ,1 ji 



avec la somme zém pour x ^ y, si a -H Ji <^ o et | a — [i | <:^ i ; la soiuim- 

 bilité est unifoniie pour \x — r\^t (î>o). La reclierclie de la sonjiiia- 

 bilité (C. 0) de la série (2) se réduit à son tour grâce aux Ibrmules 



'■(0'-(V--:) , 

 (^) (,V...(.-.:^ ^'^'<-' 



Y{p -h coVin -h \) J J ?-p 



(COSO) COSy»- (C0?0 COS'jj)p-l' 



^_ sin -) siii',)COi[(/i H- 19 — on] f/'j f/'.. 



r(fi-H;3)r(/iH-i) jfj X 



(COS^ — COS'jj)- ''(cosr.l — COSO)''^* 



OÙ X = cosO. 2; — I — a — [i, à Tétude de la série 



l(" + p^ r(2o)r(., + .) '^"^^^"^P^"-'°^1 (0 = "^-^^), 



qui est somiuable (^C, >> 23) et a zéro pour somme, si // ^ o, 2-, et l est 

 niéiiie uiiirormémenl dans ["intervalle ( 0, 2- — t). 



La formule (3) n'est valable que si a + |3 < o et ^ — œ < i et d) n'est 

 valable que si a -f- ^ <| o et a — jî<Ci- H est très probable que les res- 

 trictions a -f- ^ <[ o et I X — i^ I <C ' "6 sont nulleiiii-nt nécessaires et (ju on 

 les lèvera en étudiant la série divergente (2) par une iiiélbo le directe. 

 Celle élude diiecle doit aussi diminuer l'index > i — x — [il de la somma - 



biiité de la série (2) jusqu'à > pour | j:| < i et même juscpi à 



o>o. si X et y se trouvent tous les deux à l'intérieur de l'intorvalle 

 (— I, -I- i). On prouve t'acilcmcnt ([ue la série (2) n'est pas sommable 

 (C, o2 ——7-—^) P*»"'' .v = ±t. a- 1 < I ri ne l'est pas non plus 

 (C, S5i — a — ]i) pour j- = — r = ± I . 



(') (JititrliiU Jiiu/nal. t. i3, 191 !. p- i-J3, ^ 1, tliéorènic II, \. 



