SÉANCE DU l'i JUIX I921. j/459 



fnlérieiir à C el un contour fermé M' extérieur, un a 



'f{y)'iy 



r J\y)dy ^ 11 r f{y)dY ^ i A 



y- 



ce. qui ramène les intégrales de Cauchy aux intégrales ordinaires. 

 . Théorème II. — f{x) étant la fonction précédente, A.{x,y) el B(j.-, v) 

 deux fonctions des deux variables complexes x et y holomorphes dans la même 

 bande co, on a 



Je y--^ ■'Je --J Je 



en posant 



Oi<, s'il y a lieu. 



Je y-^' --y " 



Celle formule fniidamenlale permet d'itérer les noyaux singuliers. Uu 

 cliaiigement de variables la rend applieablc au domaine réel. 



TmionÈME 111. — Soient M (a;, y) et N(x,y) deux noyaux, admettant la 

 période O par rapport à x et ày, holomorphes dans de petites bandes à cheval 

 sur /es axes réels des x et des v, sauf au point y = x où l'on a 



/'(j:) ayant la même péridde l'I le uième domaine d'hojomorpliie, on Uouvt> 



Ç \{.v,r)dyf M{y,z)/{z)dz 



= -7r^N,(a-)M,(x)/(^)+ r f{z)dzf \ (.r, j) M ( r, =) c//. 



C'est la formule à'interversionôn^ Tordre des inlégralioiis dans u)ie intégrale 

 double avec valeurs principales. 



2. Application à la théorie des marées. — La première question à résoudre 

 est la suivante : Trouver une Jonction z>{x^ y) harmonique à l'intérieur d' un 

 domaine tO et salisjaisanlsur son contour C à la relation 



-Y- -\ cos y -p = 7 1 .$ ) . 



on [1. Os 



