I/JG2 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



II. Supposons que la fonction considérée :; = ,J;(a-, r) soit une fonction 

 analytique holomorphe dans le voisinage de x = a, y = y.. 11 existe alors 

 une fonction analytique et une seule f{x, t), holomorphe lorsque x et t sont 

 voisins respccliveinent de a et de o, qui se réduit à '\'r(x) lorsque / est 

 rationnel. Nous poserons 



Il résulte de la foimule 



que 'K-^i '^') t-'st symétrique par rapport à a; et à y; cette ronction est dite 

 indéftnlmenl symétrique. 



III. L'équation fonctionnelle 



(') ^ /{-r+j) = ?[/(^-), /(y)]- 



où cp(a7; y) ost indéfiniment symétrique et où f(x) est l'inconnue, admet 

 une infinité de solutions lioloniorplies dans le voisinage de a: = o el se 

 réduisant à a pour x = o. Elles sont toutes de la l'orme /(a-)— o.,.(C), 

 où G est une constante arbitraire. 



Réciproquement, s'il existe une l'onction vérifiant cette équation fonction- 

 nelle, o(;r, )-) est indéfiniment symétrique. 



<_)n peut en déduire que tout groupe continu à un paramètre est permu- 

 table et scndilable au groupe des translations à un paramètre. 



IV. Etudions le cas où z =■ '^{x,y) est une branche de fonction algé- 

 brique définie par l'équation 



(■-!) l'C'*"- y; ^) = o- 



Les fonctions /(«) définies par (i) admettent le théorème d'addition 



algébrique 



(3) ■ «!>[/("),/(«•);/(" + <')]==o 



et par conséquent rentrent dans l'un des trois types suivants : fonction algé- 

 brique; fonction algébrique de r'"'; fonction algébrique d'une fonction 

 ellipti(|ue. 



Nous sommes donc conduits à étudier le théorème d'addition de ces 

 fonctions. 



V. Le cas lo plus simple est celui o(\f(u) est uniforme : 

 Soity(«) une fonction elliptique et 



(3) <!»[/(«),/( (•l;/(» -hOJnrO 



son théorème d'addition, on démontre les résultats suivants : 



