SÉANCE DU l3 JUIN I921. 1403 



1" L'élimination de l entre les équations $(0-, y; t) = o, «I>(/, c; Z) = o 

 conduit a une relation 0(a;, i', r; Z) ^ o symétrique en x,y, z. 



2° 11 existe une valeur a et une seule telle que <!»( r, a; a;) == o. 



3° Il existe une seule racine c = s(.r, y) de l'équation (2), liolomorphe 

 lorsque a? et y sont voisins de a, égale à a lorsque ce ^ ca, y == a, et symé- 

 trique par rapport à a; et à v; cette racine vérifie o(x', a) = .r. 



VI. Réciproquement, supposons que *!> vérifie les conditions précé- 

 dentes, la racine z ^ (f{x,y), définie au 3° est indéfiniment symétrique, 

 la fonction /{u) = a»„(C), où C est une constante, est holomorplie dans le 

 voisinage de w = o et vérifie l'équation (3); il est facile de suivre son pro- 

 longement analytique et de voir qu'elle est uniforme. 



Les conditions du paragraphe V sont donc nécessaires et suffisantes pour 

 qu'il existe une fonction uniforme vérifiant l'équation (3). On peut recon- 

 naître facilement si les fonctions ainsi définies sont rationnelles, ration- 

 nelles en c^" ou elliptiques. 



VIL Soit 



(3) $[X(«), X(r); X(« + ,•)] = o 



le théorème d'addition d'une roiiclioii algébrique X d'une fonction ellip- 

 tique /(i<). 



La condition 1° du paragraphe V est toujours vérifiée par <I>; il existe 

 n valeurs a,, a,, a„ telles que 



'I>(.r, a,; .r) = o, 



et pour chacun de ces nombres a, la condition 3" est vérifiée. 



Récipro(juement, on démontre que si $(a', y, z) salisfait aux conditions 

 précédentes, il existe une infinité de fonctions X(i<) admettaiil n déterrai- 

 nalions dans tout 11' plan etvériliaiil ré(|ualion (3). Ce sont des l'onclions 

 algébriques de fonctions uniformes de u. 



Le polynôme $ élanl donné, on peut former par des calculs rationnels 

 une relation algébri([U(' 



l-'(.r, \) = o 



telle (.[ue les solutions X(;/) de l'équation (3) soient définies par une équa- 

 tion de la forme 



F[/("),X(,0]=^o, 



où/'(«) est une fonction uniforme; par élimination, ou pourra former le 

 théorème d'addition de /"(;/). 



