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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctions /ivpercylindriques. 

 Note de M. .1. Kampé de Fériet, présentée par M. Appell. 



Les fonctions considérées récemn:ient par M. Pierre Humbert('). sous le 

 nom de fond ions hypcrcylindriqties. jouent par rapport aux fonctions har- 

 nioni({ues dans l'espace à un nombre quelconque de dimensions le même rôle 

 que les fonctions cylindriques de Bessel dans l'espace à trois dimensions. 

 Dans l'expression d'une fonction harmonique en coordonnées hypercylin- 

 driques, M. Ilumbert introduit, outre des fonctions à une variable, se 

 déduisant par dérivation des polynômes de Gegenbauer, une fonction 

 G(a, 8, y, X, j) qui est une dégénérescence de la fonction hypergéomélrique 

 de M. Appell F.,(cf., o'.','ji,[i',^^',x,y). Je voudrais montrer que l'on peut 

 donner de ces fonctions harmoniques une expression simple et symétrique, où 

 n'interviennent pas d'autres éléments que les fonctions hypersphériques à 

 n variables et les fonctions ordinaires de Bessel. Il suffit, dans ce but, de 

 substituer un système de coordonnées symétriques, aux coordonnées 

 polaires 0, ç,, ..., o,,^, employées par M. Ilumberl. 



Considérons, dans l'espace à n + 3 dimensions où les coordonnées 

 rectangulaires sont ::|, ...,;„+.,, le système de coordonnées curvilignes 

 défini par 



:^■^ rxt, z,z=zrx.2, .... :,iZ=r. rjc„, 



j„_n nz /• y/X„ cos tp, j„^_,=: /■ y/\„ sin o, Zn+i= t, 



(X„^i — x\ — ... — a;;, ^o, oiol'ii:. — oc;;/ 5 4- oc) 



(le passage des variables a-,, . .. , x„ aux angles polaires 0, o,, . . . , ç>„_, est 

 immédiat). 



Dans ce système, où les surfaces /• = const. sont des hypercylindres (C) 

 de révolution autour de l'axe des r„i;i) l'équation de Laplace s'écrit 



I <) I .... ôv\ .^<r-\- I â'-v 



dr\ Or j di- -\„ <)'J- 



(') Pierre Humbert, Sur les fonctions /iy/>crcy/indriqiies [Comptes rendus, t. 171, 

 1920, p. 490); Les fondions hypercylindriques dans l'espace à « -H 2 dimensions 

 {Comptes rendus, t. 171. 1920, p. 587); J lie Conlhienl Hypergeonictric Funclions 

 of two variables [Proceedings of Ihe Itnyal Socictr of Edinburgli, vol. 'il. Part I, 

 n°9, 192.). 



