SÉANCE DU l3 JUIN 192I. l465 



Clicrclions, par analo<;'ie avec la métliodo classique pour l'espace ordi- 

 naire, à déterminer une solution F de la forme 



Fr=r-""P(,r,, .... J-„-)/(/-)*^°^/-» 



(A constante arbitraire. /. entier positif). 



Il est clair que l'équation de Laplace est satisfaite lorsque l'on a 



(//■- /■ dr L ' J 



Or, en supposant que u. est un entier positif supérieur à k, la première 

 équation est vérifiée (juand on prend pour P une fonction hypersphérique 

 de degré u. et d'ordre /:, V'^-'' {x^, . . . , x,^)\ on sait que ces fonctions se 

 déduisent très simplement des polynômes d'Hermite V„, „,„(^i > • • • j ^n) '• 



P'M,(^„ ,„) = xJ^-_^ /«^, + ...^-^,„=:^, ^_ 



^ " à.r\^ . . . t)a-î," \ /. , + . . . + />•„ = /. , oi I; 5 p./ 



Quant à la deuxième équation elle est vérifiée si l'on prend 



■2 

 J „ désignant une fonction cylindrique de Bessel. 



Nous obtenons donc, pour la fonction harmonique, l'expression 



(2) p,M)— c'"''P^!^-'"(.r, x,i)r~~-i Alr)'^''^ ko. 



!J.+ - sin 



Les entiers a et k étant donnés, il existe 2 , ' ^ — ^ fonctions harmoniques 



' ( ' J ,"• — '■' ) 



de ce type linéairement indépendantes; exceptionnellement pour X- = o, ce 

 nombre s'abaisse à JhJL^^ et, comme la fonction hypersphérique zonale P'^''" 

 se réduit au polynôme d'Hermite, on a dans ce cas 



¥'V:'') — e't\„,^ „,„(:.ri, ...,x„)r~~-i^ „(>■/•)• 



En faisant n = o dans (2) on retrouve la formule classique^our l'espace 



