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L'application répélée de cette formule donne sans peine 



{Il -4- I)/.-l rfH*"" 



%■(■/•• ri.- .„ 



en désignant par C,'' le coefficient de x'' dans le développement de (i + j)'', 

 et en donnant à h toutes les valeurs entières de zéro à n — k. 

 D'autre part, le développement direct de <x>'' conduit à 



/, - 7 -I- t k-il- 



(o'-=i(-i)-<C;, ^ c,. ■' ..^yp'--, 



la somme des valeurs absolues des entiers quelconques q ç\s étant inférieure 

 à /• et de même parité. 



Soit alors 



I dii„ sin(« J- i) Il 



/« + 1 dlli, siii H ' 



la formule de Taylor donne immédiatement, en changeant n — k — ■>.h -+- s 

 en/), 



■„=i(— j)-<x''j-7,5''C,. ' c, - C,Ua + ,,-.<C* 



la sommation portant sur toutes les valeurs entières de /•. /j, q^ s qui vérifient 



les conditions 



o ^k II, \'/\ + \s\-_ /<% \p— s\^n — /,-, 



les deux membres de chacune des deux dernières inégalités étant en outre 

 de même parité. 

 Faisons 



et supposons p et q positifs ou nuls, puisque leur signe est indifîerent; leur 

 somme est d'ailleurs au plus égale à «, et de même parité. 

 En remplaçant k — s par /'. k -+- s par /', on a 



ii'--j^ /.'-^ I." 



k' vaiiaut de q k n — p, k" de q à /; -+- p, par degrés égaux à deux. 



La séparation qui se manifeste entre les indices /' et k" nous montre 



