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GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Défornidlinn des surfaces et équation de 

 Laplace. iSote de M. Bertr.wd Gamiiier, présentée par M. G. Kœnigs. 



1. J'ai indiqué le 6 juin 1921 qu'une équation de La[)lace (E) peut 

 fournir soit deux surfaces S, S' applicables, soit une famille de surfaces 

 S, S', S", ... à un paramètre déformées de l'une quelconque d'entre elles. 

 L'intégration d'une autre équation de Laplace (E') déduite de (E) fait 

 correspondre à ce couple (ou cette famille) un groupe de couples (ou 

 familles) de surfaces, applicables dans chaque couple (ou chaque 

 famille). 



Il s'agit maintenant de donner des exemples nouveaux déduits d'une 

 équation (E) judicieusement choisie. Les essais seront guidés par un 

 problème plus général, dont on connaît quelques solutions, encore trop 

 rares. Nous savons déformer complètement quelques surfaces (paraboloïde, 

 développées de surfaces minima, etc.). Soient deux surfaces S, S' déformées 

 d'une telle surface; à ce couple correspond une équation (E) du type 

 cherché. Le résultat est encore pins intéressant si S, S' apparticnrtent à une 

 famille de surfaces admettant un paramètre de déformation avec un réseau 

 conjugué restant conjugué au cours de cette déformation continue. 



2. Bornons-nous à une surface S développée d'une surface minima M; 

 la déformée la plus générale de S est une autre surface S' de même défini- 

 tion. S admet une infinité d'auto-applications à un paramètre, obtenues 

 par les quadratures fournissant les lignes de courbure de M. Donc à 

 chaque couple de surfaces minima M et M', que M ou M' soient ou non 

 superposables, je peux faire correspondre une équation (E). 



Bornons-nous à une auto-application de S : on voit aisément que, M et S 

 étant réelles, si la fonction #(«) de Weierstrass est de la forme Au'", où A 

 et m sont des constantes réelles, S possède un réseau conjugué, dont les 

 courbes s'échangent simplement entre elles au cours de raulo-a|)pIication ; 

 c'est donc un réseau conjugué persistant. Ces surfaces M sont celles qui 

 sont ou hélicoïdales ou applicables sur une surface de révolution. Si m est 

 commensurable {m =z — 2 excepté) on a même une surface S algébrique, 

 avec auto-application et réseau conjugué eux-mêmes algébriques. Chatjue 

 valeur de ni fait donc connaître une équation (E) du type annoncé et 

 chaque solution de l'équation (!'?) correspondante donne une famille de 

 surfaces à un paramèlie toutes applicables entre elles. L'une de ces équa- 

 tions (E) est particulièrement simple, c'est celle qui provient de la surface 



