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membres di> système S soient eux-mêmes des fonctions analytiques et régu- 

 lières. Une figure intégrale non ordinaire sera dite singulière. 



\ . Le système S étant supposé complètement inlègrable, ajoutons au 

 nombre des cases vides de son damier celui des lonctions ^inconnues que le 

 système implique, ce qui donne le total 7; puis, en même ti-mps que le 

 système S, considérons les deux relations 



( Im //. r, r, y. z, s, a. [t>. y, 0. 0, 1, /j.) = o, 

 ( Ui II, V, .r, y, z,s, a, ^ti. y,ô, 0.'/.. iJ.j^o, 



OÙ ^figurent, avec x\ v, :. s, m, c, les sept constantes arl)itraires x, jj, •■, 

 0, 0, X, u.. Les relations (2) étant supposées résolubles par rapport à 11, i, 

 exécutons sur elles les diverses différcntiations pi-emières relatives à x. y. 

 z. s, en triiilant ;/, r comme des lonctions de .r, y, z, s, a, [i, y, 0, 0, A, u.: 

 il vient ainsi 



(3) 



Cela olanl, les relations (2) seront dites définir une famille complète de 



figures iiilégiales ordinaires du système S, si les deux conditions suivantes 



se trouvent à la fois satisfaites : 1° En même temps que les relations (2) sont 



résolubles par rapport aux inconnues u. <-, le système formé par les dix èqua- 



s , .-.s . , » j I- • ■ du du 0\' r, 



tions ( 2) et {S)esl résoluble par rapport au.v di.r quantités -^^ -r-j — i y., p, y. 



0, 0, A, a; 2" par Valtrihution à a, p, y, 0, 0. A, [i. de toutes valeurs numé- 

 riques, les relations (2) donnent des figures intégrales ordinaires de S. 



\l. Désignons par / un entier auquel on attribuera tour à tour les 

 diverses valeurs telles : 1° que /' soit supérieur à zéro; 2° qu'il soit au plus 

 égal au nombre des constantes arbitraires, c'est-à-dire à 7 ; 3° (ju'il soit au 

 moins égal à ce même nombre, diminué du nombre des variables indépen- 

 dantes, c'est-à-dire à >. Gela posé, et les relations (2) étant supposées définir 

 une famille complète de figures intégrales ordinaires du système S, il suffit, 

 pour avoir sans aucune figure étrangère toutes les figures intégrales ordinaires 

 de ce systèmi', d'effectuer de toutes les manières possibles l'opèra/ion consistant : 



