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ANAf^Y.siî MArilÉi\IAlI(^)UE. — Siif les sysl.cmes (Vèrjuiilions aii.r ilérnècs 

 partielle des fomiions /tYpirgèométriqucs les jiliis iiènèrales. Note 

 de M. J. Kampé de Férikt, préseiilée par M. \p[)(ll. 



1. Dai.s des Notes récentes, M. R. IJirkeland (') a donné le dévelop- 

 peiiicnt dt^s r icines d'une équation ali^ébrique, en introduisanl comme élé- 

 nienl analytique des fonctions de n variables qu'il nomme, en élargissant le 

 sens habituel de ce mot : fonctions hyper géométriques . lui nous bornant au 

 cas de /; =2. soit 



une telle fonction; elle est caractérisée par la condition que les rupports 



'""^ '•" et -^^'— soirnt des fondions nilionncllcs de m et de n : 



a, 11,1, «,„ ■■ 



0,„-^-^,f•. V(lll. Il) <'m.ii + \ ^}{"'- '>) 



(0 



\\{m. n) 



W (), H, S désignant di'> polynômes en m et n. soumis seulement au\ res- 

 trictions Sidvantes : 1° les degrés de P et Q sont au plus égaux pes[>«ctive- 

 ment à ceux de 11 et S; 2° R et S ne s'annulent pour aucune valeur des 

 entiers positifs rn et n; J" la condition de compatibilité 



! ( /« , /( -H I ) Q ( ifi. n] P ( »i , n ) Q ( /« + I , /() _ 

 '.\( ■>! . /> -h I ) i{iii. Il ) \\(iii. Il ) S(iii -i- 1. n) 



esl \ériliée quels que soieni m et n. 



Ces fonctiorts n'ont, je crois, été l'objet d'une étude approfondie que dans 

 le cas où, le d 'gré de I', (>, W, S étant au plus égal à deux. l''(.r. y) se 

 ramène à Tune de- cjuatre fonctions bypergéoniélriques de M. Vppell ou à 

 leurs dégéné esci'nces. \u poini de vue général, M. Hj. Mellin (- ) a donné 

 (sous forme symbolique) un système de deux équations aux dérivées par- 

 lielles vériiiées par F(.'r, r)dansun cas étendu : celui ou les polynômes sont 

 décomposés en (acteurs linéaires, nm -+- l>r} -+- e. Je me jtroposc de montrer 

 (jiic. I', ^ ). R . > 'tiint donnés, on peut ( sons foin- d'hypothèse sur la [mssihi- 



(') I!. lï'iiRF- AM'. Complet rendiK, t. 171, i<)'.o, p. kiju; l. 172, 19'!, p. J0<) 



cl 1 I jfl. 



(-) 1*1. Miai %, Comptes rendus, i. 172. ig.'.i, p. ('>.">8. 



