SÉANXE DU 17 JUIiN I921. l635 



lilè de leur décomposillon en facteurs linéaires), former très simplement un 

 système d'équations aux dérivées partielles vérifiées par F(.r', y ), lors(nCon a, 

 au préalable, écrit ces polynômes sous une forme appropriée . 



II. Un polynôme arbilrairi' lT(//c, «) peul loiijourssr incltre sous la forme 



(2) II(/«, H) :^iA,,/,A,'„A;;, 



A4 =^ 1)1 {ni — \) ... {/Il — ,/ + 1 ), A* — /i ( /* ■" I )...(/(—/. -H I ) ; 



les coerficieiils 7.^ /, se détermineni par les lorniules 



en outre, il est clair qu'on a l'idenlité 



(3) ,r"'r" !!(/«, n ) =- i ).,,;, .r.'j-'' -^-^ (,r"'j" ). 



Ceci posé, uietlons les polynômes donnés sous la l'orme (2) de la manière 

 suivante : 



\'{m,n\ =ia^,4.A{,Af;, (Ji//;./(i — l^ij^,,\i,\f,, 



]{{m — i. n) — lpjj,\{„A';„ Si m, n — i ) = i 7y,/. Af,, A^;. 



11 est alors aisé de démontrer que ]''(.z% v) vérifie les deux équations 



En cfTet. d'après l'identité (i), les coeffirients de ,/"' v" dans les crochets 

 de Cl) et de ( '1') onl pour expressions 



et 



«,„,„ S( m, n — I ) — Oiiin-x *J('"i " — • N 



quantités identiquement nulles en vertu des conditions (i) (la première 

 pour m-^i , la deuxième [jour n-^ i). 



L'ordre des équations (4) et (4') est respectivement égal au degré des 

 polynômes R et S augmenté d'une unité. Lorsque R et S contiennent en 

 facteur respectivement (/« + i) et (« + 1), ce qui entraine 



Oo,/. = ( /. 3Z o, I. -2, . . .), ^'■yJi^O — O, I; a, . . .)i 



