SÉANCE DU 27 Jl IN I921. 163- 



AXALYSli MATHl':.\lA') KjUE. — Sur les syslèmes aiir dé ràées pnrliel/es compre- 

 nant autant d'èquatinns que de fonctions inconnues. Noie de M. Maurice 

 Janet, présentée par M. Iladaniard. 



I. ()n possède des méthodes générales qui permetlcnt, élanl donné nn 

 système (|uelconque d'équations aux dérivérs partielles (analytique) : 

 1° de leconnaitrc s'il est possible; 2" dans l'affirmative, d'indiquer le degré 

 (le généralité de sa solution. Mais, en raison même de leur puissance, ces 

 méthodes sembleni souvent insulfisanles dans la pratique : on sait qu'elles 

 doivent aboutir « au bout d'un nombre fini d'opérations »; encore peuvent- 

 elles exiger un temps fort long et peut-on demander de les ^■o^■/• aboutir pour 

 un système de forme simple donnée. C'est à une question de ce genre que 

 nous nous proposerons do répondre pour certains systèmes assez généraux 

 dont létude semble s'imposer d'elle-même. 



Soient A,/, des expressions différentielles linéaires ( ' ) ( «', /• = i , 2, . . . , N) 

 en nombre N". Nous dirons que les expressions 



/. = N 

 /. = 1 



sonl indépendantes ^'i\ n'existe aucun système B, d'expressions différentielles 

 linéaires (non touti'S identiquement nulles ) telles que Ion ait 



I = 1 



pour tout choix possible des fonctions //,, «o, . . . , Us.. 



Supposons que l'on égale les >« expressions U, respectivement à des 

 fonctions données J, des n variables indépendantes .r,, j^^, ..., a"„ ; on 

 obtient ainsi un système de N équations linéaires (E, ) aux N inconnues i/,; 

 dans le cas où les expressions U, sont indépendantes, nous dirons que les 

 équations E, le sont. Ln tel système est évidemment possible quelles que 

 soient lesy". (lue peut-on dire du degré de généralité de sa solution? 



(') Une expression ilitTérenlielle linéaire Ai«) est une somme d'un nombre iiiii 



^a,+a;-i-...-Mi„„ 

 d'expres.sions de la forme Oi a n -: ; — ::: r— j '>ù les a sont des fonctions 



données des variables indépendantes ^i, .i,, .... x,^. Une telle expression est dite 

 identiquement nulle -i tous les a qui v ligureiit sont identiquement nuls. 



