l638 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



2. On peut se l)orner aux systèmes <lu preuiier ordre sans restreindre 

 la portée du problème posé. La réponse est alors presque immédialr 

 lorsque N == 2. 



'Si le système n'est pas susceptil)le délre mi.- siuis la forme normale 

 de Cauchy (même en utilisant un changemcnl de variables), on s'assure 

 aisément qu'après un changement linéaire éventuel de foiictinns inconnues, 

 l'une des fonctions a satisfait à une seule équation (d'ordre i ou o), 

 l'autre, v, étant parfaitement déterminée en fonction de u et des dérivées 

 premières de //. I^n excluant le cas où les deux fonctions se trouvent entiè- 

 rement déterminées, la solution générale dépend (') donc soit de deux, 

 soit de une fonction arbitraire de n — i variables. 



3. Nous considérerons ici un système quelconque de trois équations linèdircs 

 du premier ordre aux ti ois fonctions inconnues u, v, (r, en supposant seulement 

 que -ces équations S(ml indépendantes. Dans le cas (n'i les équations sont 



résolubles (après changement éventuel de variables indépendantes) par 



. , du 'h- Oiv . , , .. , , , , ■ f 



rapport a -; — > - — , - — > on sait que la solution dépend de t/ois tondions 

 ' i o,/-, o.r, Jti 1 ' 



arbitraires de « — i variables. Excluons ce cas, qui est classique. Excluons 

 aussi les cas dont l'étude est immédiate, oïi, par de simples combinaisons 

 linéaires des équations données et par un changement linéaire (éventuel) 

 des fonctions inconnues, on peul ramener le système donné à l'une des 

 formes (a), (b), (c) : 



a. Un sysième de deux équations indépendantes du premier ordre en 

 //, r, et une équalion déterminant complètement n en fonction de u. c 

 (et (le leurs dérivées premières); 



b. Une é(|uation d'ordre i (ou o) en f/ seul; une équation déterminant 

 complètement c en fonction de u (et de ses dérivées |)reniières ); une éijua- 

 ti(m d'ordre au plus i en u, v, <r, contenant efieclivement des termes en ^v 

 (d'ordre au plus i); 



c. Deux équations déterminant respectivement u, c en fonction de o- 

 (et de ses dérivées premières); une équation du premier ordre en ;/. c, i< . 

 La fonction (r satisfait alors évidemment à une seule équalion dont l'ordre 

 est 2, I ou o. 



(') Les lliéorèmes généraux d'existence jiermelleiil de donner à celle expression un 

 sens précis : d'une manière générale, en appelant genre d'uno arltilraire le nombre de 

 ses variables, on sait que le genre ma^iiinuin "/, des arbitraires, et le nombre [j. de? 

 arbitraires de genre niruimiini conservent la même \aletir quelles que soient la forme 

 <;anonique et les variables indépendantes choisies; le degré de généralité est carac- 

 térisé, à noire point de vue acUtel, par les deux nombres \, ;jl. 



