SÉA>'CE DU 1^7 JLI.V 1921. 164 1 



VvquaUon dlj/èirnllellc des lignes de courbure de celle (juatlriiiue. el, par siiile. 

 i[n elles forment r enveloppe de ces lignes de courbure. 



On peut, en loul cas, établir lrè> simplement cette remarque par Ir rai- 

 sonnement purcmeni syntliéli(|ue (pie voici : 



En tout point M d'une telle L;énératrice isotrope Ml, le plan tangent à la 

 quadrique contient : i" une secondr droite isotrope MJ ; i" la seconde 

 génératrice recliligne M( 1 de la surface. 



■■ Les directions principales en M sont conjuguées par ra[)port aux géné- 

 ratrices MI et MG ; mais, puis(|u'elles sont rectangulaires, elles le sont aussi 

 par rapport aux droites isotropes MI et MJ; et, comme ces deux couples de 

 droites ont en commun la droite Ml. il n'en peut être ainsi qu'autani que 

 les deux directions principales se confondent avec cette droite Ml, ce ({ui 

 établit la proposition. 



La projection, sur un plan principal, des buit génératrices isotropes se 

 composant des tangentes menées à la section principale correspondante par 

 les quatre ombilics qu'elle contient, il résulte de là que les projections des 

 lignes de courbure d'une quadrique sur un de ses plans principaux se con- 

 fondent avec les coniques inscrites élans le losange formé peir les tangentes à la 

 section contenue dans ce plan, menées par les ombilics qui appartiennent ii 

 celte section. 



Toutes les quadri(jues pour lesquelles ces tangentes sont les mêmes cons- 

 tituent donc une famille pour laquelle les projections des lignes de courbure 

 sur un plan principal comnain sont les mêmes. 



Soit, par exemple, dans le plan principal 0.i"; (où se trouvent pour 

 l'ellipsoïde de demi-axes a^ b^c, les ombilics réels), le losange l ^YU'^V' 

 dont les sommets U et U' sont sur ( )x, les sommets W et W sur < );. 



Toutes les coniques inscrites dans ce losange sont, à la fois, les projec- 

 tions des lignes de courbure de toutes les quadriques ayant l'une quel- 

 conque d'entre elles pour section principale, el leurs ombilics réels aux 

 points de contact de cette section principale, avec les côtés du losange. Il 

 suit de là que le demi-diamètre déterminé par chacune de ces coniques sur 

 les parallèles aux cotés du losange menées par G est égal au demi-axe /; de 

 la quadrique correspondante, situé sur Oy. 



