GEBIETE DER HYPERBOLISCHEN GEOMETRIE. 35 



und man bezeichnet dies mit 



{AB CD). 



Wir können jetzt den folgenden Satz aussprechen : 



Es seien a, h, c, d die vier Geraden durch einen reellen Punkt 

 0, so ist das Doppel Verhältnis {AB CD) der vier Schnittpunkte 

 von einer reellen Geraden h mit a, b, c, d unabhängig von der 

 Lage der reellen Schnittgeraden h. 



Dieses Doppelverhältnis wollen wir auch dasjenige von vier 

 Geraden a, h, c, d durch nennen. Dann gilt : 



Wenn man irgend vier Punkte A, B, C, D auf einer reellen 

 Geraden von einem beliebigen reellen Punkt aus durch die 

 Geraden a, b, c, d projiciert (wo die Projectionsstrahlen immer reell 

 sind), so ist das Doppel Verhältnis dieser vier Geraden unab- 

 hängig von der Lage des Punktes (im Endlichen). 



Dass das Doppelverhältnis {AB CD) von vier Punkten auf 

 einer reellen Geraden h den Gleichungen (3) § 14 genügen, 

 kann man in folgender Weise einfach nachweisen. Man projiciere 

 sie von einem reellen im Endlichen gelegenen Puukt aus durch 

 vier reelle Geraden a, b, c, d und schneide diese Geraden,, durch 

 eine andere reelle Gerade g, Avelche a, b, c, d resp. in vier reellen 

 Punkten A^, Bi, Ci, D^ schneidet, so ist 



(ABCD) = {A,B,C\D,) , 

 {BACD) = {B,A,C\D,) 



Daraus folgt unmittelbar unsere Behauptung. 



§ 17. 



Es seien nun a, b, c, d die vier reellen Geraden, welche ein 

 gemeinsames Ende U haben, d. h. sie sind unter einander 



