GEBIETE DER HYPERBOLISCHEN GEOMETRIE. 



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ideale Gerade definierenden reellen Punkt (oder das Ende) durch- 

 geht und auf der reellen Geraden senkrecht steht. 



Infolgedessen sind die Schnittpunkte einer idealen Geraden 

 Ji mit den vier reellen Strahlen eines Büschels durch vier reelle 

 Stralilen völlig bestimmt, die durch den A definierenden Punkt 

 H gehen und auf den Strahlen des Büschels senkrecht stehen. 



Wir wollen das Doppelverhältnis dieser vier reellen Strahlen 

 durcli H auch dasjenige von vier idealen Schnittpunkten von A 

 mit den vier Strahlen des gegebenen Büschels nennen. 



Dann können wir beweisen, dass dieses Doppelverhältnis 

 dem der vier Strahlen des gegebenen Büschels gleich ist. 



I. Es seien a, b, c, d die vier Strahlen eines Büschels, dessen 

 Mittelpunkt reell ist, und H sei ein Punkt, der eine ideale 

 Gerade h definiert. 



a) H ist ein reeller Punkt im Endlichen. 



Man fälle von If aus die Lote HF, BQ, HE, HS auf 



jj a, b, c, d, deren Fusspunkte 

 auf ihnen F, Q, E, S sind, 

 dann haben wir zu zeisren 



Fiff. 30 



(abcd) = H{PQRS), 



wobei {a b c d) das Dop- 

 pelverhältnis von vier Gera- 

 den a, b, c, d des Büschels 

 bedeutet und H[FQES) dasjenige von HF, HQ, HE, HS. 



Man verbinde H mit durcli eine Gerade g und bezeichne 

 die Geraden HF, HQ, HE, HS mit a, b' , c, d'. 



In dem rechtwinkligen Dreieck OFH, nach (6) [§ 2] 



tg {g «) = 



ûiJIF 

 shPO 



(1) 



