GEBIETE DER HYPERBOLISCHEN GEOMETRIE. 59 



III. Wenn Hi ein idealer Punkt ist, so ist die Gerade h^ 

 reell und diesen Fall haben wir schon erledigt. 



In I und II kann Hi auch auf einer von a, b, c liegen. 



Die vier Punkte auf ^^ sind entweder durch vier reelle Geraden 

 durch E oder durch drei reelle Geraden und das Ende E völlig 

 bestimmt und die vorhergehenden Betrachtungen zeigen, dass das 

 Doppelverhältnis von den vier Strahlen, welche die vier gegebenen 

 Punkte auf ^v» von einem Punkt (reell, ideal oder Ende) aus projicie- 

 ren, von der Lage des Projectionscentrums unabhängig ist. 



§ 22. 



Jetzt haben wir nur noch den Strahlenbüschel, dessen 

 Mittelpunkt ideal ist, zu betrachten. 



Es sei H der Mittelpunkt, so sind die Geraden dieses Büschels 

 dadurch characterisiert, indem man die Geraden ziehen, welche 

 zu den idealen Punkt H definierender Geraden h senkrecht 

 stellen, so bald die Geraden des Büschels reell sein sollen. 



Doch ist nach § lo durch einen reellen Punkt £)' auf h 

 eine ideale Gerade d bestimmt, die durch H geht. Also gehen 

 durch H unendlich viele ideale Geraden. 



Nehmen wir vier reelle Punkte A'B'C'D' auf h, so sind 

 dadurch vier ideale Geraden a, b, c, d des Büschels H veil 1 ig 

 bestimmt und A', B', C, B' sind die zu den Schnittpunkten J, 

 i>, (\ D von a, h, c, d mit A conjugierten Punkte und wir wollen 

 das Doppel Verhältnis {Ä'B'C'B') = .c jyTrv • ~YWd^ ^ueli das- 

 jenige von vier idealen Geraden a, b, c, d nennen. 



Dann gilt wegen § 13, §15, § 18 der Satz : 



Das Doppel Verhältnis der vier Schnittpunkte einer reellen 

 oder idealen Geraden mit a, b, c, d ist dem Doppelverhältnis 

 {ab cd) gleich. 



