6o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



3° Les courbes p. appartiennent à des S^^ passant par un Sp.([j. < /•,)fixe. 



Supposons d'abord que le premier cas se présente. Puisque les S^, oscu- 

 laleurs aux courbes po de $ en tous les points d'une courbe p, passent par 

 un point, les S/„^,; osculateurs aux mêmes courbes aux mêmes points 

 passent par un Sv osculateur ky., et la même chose arrive des espaces S^.^^,,^,, 

 réunissant un S^^^^, osculateur à po, avec l'espace S^^ osculateur à p, au 

 même point. Posons v = X" + A et considérons la configuration de Laplace 

 formée par les S/^+a réunissant les S/, et les S^ osculateurs aux mêmes points 

 de $ aux courbes p, et p., qui y passent. Si l'on coupe cette configuration 

 par un S„ v on a une surface <E>' [dont les coordonnées d'un point sont les 

 expressions (/z, /c) relatives à (i)] avec un réseau conjugué; les S/,^_^^_^,, pas- 

 sant par un Sv donnent lieu à des S,,^^/, passant par un point : et comme ils 

 sont osculateurs aux courbes po aux points d'une courbe p^ (de $') nous 

 pouvons conclure : 



Si la suite de Laplace relative à V équation {i) se termine après k^ transfor- 

 mations selon le cas général, la suite de Laplace relative à V équation dont les 

 expressions {Ji., k) sont des solutions se termine {dans un sens) après k, + h 

 transformations selon le cas général. 



Supposons maintement que le cas de M. Goursat se présente. On doit 

 avoir évidemment k'S,k^. L'espace S/,_^_/, qui réunit l'espace S^^ contenant 

 une courbe po de ^ et l'espace S^ osculateur à une courbe p, en un point 

 de p, ne varie pas avec ce point (parce qu'il est osculateur à la courbe 7,) : 

 donc il contient les ^k+h construits comme au numéro précédent dans tous 

 les points d'une courbe po. Si l'on coupe la configuration de Laplace 

 des y^-^h,h de S„ par un S„_v(v = A -h /•) on a une surface <ï>' avec un 

 réseau conjugué. Les S/,^/, contenus dans un S^ ^./^ donnent lieu aux points 

 d'une courbe caractéristique p.. de <I>' contenue dans un S; /,; c'est-à-dire : 



Si la suite de Laplace relative à l'équation (1) se ferme {dans un sens) 

 selon le cas de M. Goursat, après /•, transformations, la suite relative à 

 l'équation dont les expressions (h. A) sont des solutions se ferme dans le 

 même sens selon le cas de M. Goursat, après k^ — k transformations. 



D'une manière analogue, on étudie ce qui arrive pour le troisième cas 

 de fermeture. 



5. Après avoir étudié les réseaux conjugués (//,X) qui dérivent 



