SÉANCE DU II JANVIER igiS. 6l 



d'un réseau donné tl>, nous examinerons les réseaux qu'on peut déduire 

 de $ avec l'opération indiquée au n** 2. Supposons que la suite de Laplace 

 relative à <i) se termine selon le cas général (dans un sens) après k, trans- 

 formations, et soit k^/i^ et n = k -{- h -^ i . Les espaces S^+zi construits 

 comme précédemment aux points d'une courbe p,(de4)) passent par 

 un même S^__,^^ : par dualité, les ^-S/,+/, donnent lieu à un réseau con- 

 jugué (p' dont les courbes caractéristiques p, appartiennent à un S/,^^./, : 

 donc <ï>' présente le cas de M. Goursat. 



Si la suite de Laplace relative à r équation {i) se termine (dans un sens) 

 après /-, transforniatiojis selon le cas général^ la suite relative à V équation 

 dont les Ai du n" 3 sont des solutions se termine (dans un sens) après k^ -h h 

 transformations selon le cas de M. Goursat. 



Sans qu'il soit nécessaire de poursuivre notre examen, nous pouvons 

 conclure à la liaison intime entre les différents cas de fermeture. En effet, 

 si l'on compare ce résultat avec le premier du n° 4, on voit que, d'une 

 même suite fermée selon le cas général, nous avons déduit deux suites 

 fermées après le même nombre d'opérations, mais dans deux cas dif- 

 férents. 



La dualité que nous avons fait ressortir entre ces deux cas explique bien 

 le pourquoi de la démonstration de M. Darboux pour le théorème de 

 M. Goursat. 



6. Nous terminerons avec la proposition suivante (qu'on peut comparer 

 à la proposition de M. Darboux, t. IT, p. 4q5) : 



Si les coordonnées ponctuelles d'une surface, dans un espace quelconque, 

 satisfont à une équation (i) qui s'intègre par la méthode de Laplace, les 

 coordonnées tangentielles des hyperplans ayant des osculations déterminées 

 avec les courbes du réseau conjugué satisfont à une équation du même type 

 qui s'intègre en même temps que la première ; mais si la suite relative à (i) se 

 ferme dans le cas général, la nouvelle suite se fermera dans le cas de 

 M. Goursat, et vice versa. Les relations entre les nombres de transformations 

 nécessaires ont été déjà données. 



