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dérons un système simplement infini de sphères (S) dont les centres décri- 

 vent la courbe (C). Déterminons, ensuite, les surfaces S, telles que les 

 lignes de courbure d'un système soient sphériques, les sphères qui con- 

 tiennent ces lignes étant les sphères du système (S). 11 est clair qu'à 

 chaque surface E correspond une solution de l'équation aux dérivées 

 partielles. Cette solution renferme bien quatre fonctions arbitraires d'une 

 variable, savoir : une fonction arbitraire pour déterminer la courbe (C) 

 sur le paraboloïde, unp seconde pour définir la famille de sphères (S); 

 enfin on sait que, si la série de sphères (S) est donnée, la détermination 

 des surfaces correspondantes 2 introduit deux fonctions arbitraires 

 d'une variable. Au point de vue du problème de géométrie qui a été posé, 

 cette solution n'offre aucun intérêt. Ce qu'il importe d'obtenir ce sont des 

 solutions telles que le centre des sphères osculatrices considérées décrive 

 le paraboloïde et non une courbe tracée sur le paraboloïde. Je vais 

 montrer que ce problème se ramène au troisième ordre. Il y a là un fait 

 analogue à celui que M. Darboux a signalé, relativement à la surface des 

 centres de courbure, dans sa théorie des solutions singulières des équations 

 aux dérivées partielles. 



Je rappelle les notations que j'emploie pour les surfaces rapportées à 

 leurs lignes de courbure. Je désigne par M le point qui décrit la surface, 

 par M et (^ les paramètres des lignes de courbure; quand u varie seul, le 

 point M àécT\\.\?L première série à% lignes de courbure; quand v varie seul, 

 il décrit la seconde série. Je désigne par MR la tangente à la première série; 

 par R le second foyer de la congruence MR; par R,, Ro, ... les réseaux 

 qui se déduisent de R par l'application de la méthode de Laplace; par S, 

 S,, So, ... les points analogues pour la seconde série. Quand u varie seul, 

 la normale à la surface touche son enveloppe en un point C qui est \e pre- 

 mier centre de courbure; je désigne par C, , Cj, ... les réseaux déduits de C 

 par la méthode de Laplace (en allant de v vers w); je désigne par D le 

 second centre de courbure ; par D,, Dg, D,, ... les réseaux déduits de D par 

 la méthode de Laplace (en allant de (^ vers u). 



On sait que la droite C(^, passe par S; d'une manière générale C/^C/t+i 

 passe par S^ ou D^tD^t+i p^»'" R^- Au point de vue de la loi d'orthogonalité 

 des éléments, la congruence MR correspond au réseau C; d'une manière 

 générale Ryt_< R^ correspond au réseau C^ ou S^-, S^ au réseau D^^; de 

 même CC, correspond au léseau R, d'une manière générale C^Ca^., cor- 

 respond au réseau Ry^ et D^D/,^, au réseau S^. 



Le point G, est le centre de la sphère osculatrice en M à la première 



