SÉANCE DU l8 JANVIER IQlS. 9I 



ligne de courbure. Je suppose que C, soit situé sur un paraboloïde de 

 révolution et je projette la figure sur un plan perpendiculaire a l'axe du 

 paraboloïde, plan que je suppose horizontal. Les points C,, C, D se pro- 

 jettent en c,, c, d. Le réseau plan c,, étant la projection d'un réseau du 

 paraboloïde, est un réseau orthogonal, et la congruence cd qui s'en déduit 

 est la projection d'une congruence de normales. Inversement, je suppose 

 qu'on ait un réseau plan orthogonal c,, et que la congruence cd qui s'en 

 déduit soit la projection d'une congruence de normales. On voit qu'elle 

 le sera d'une infinité de manières. Soient (C) l'une de ces congruences 

 de normales, G' et D' ses deux foyers qui se projettent en c et d. L'autre 

 tangente du réseau C se projette suivant cc^, et son second foyer C\ en c, . 

 La projection du réseau Gj étant un réseau orthogonal, ce réseau est paral- 

 lèle à un réseau G, du paraboloïde. 



D'après la loi de parallélisme des éléments, G, sera un réseau lieu des 

 centres des sphères osculatrices à la première série de lignes de courbure 

 d'une surface. On est donc ramené au problème de géométrie plane suivant : 



Trouver un réseau plan orthogonal {c^ ), tel que la congruence cd qui s'en 

 déduit de la façon indiquée soit la projection d'une congruence de normales. 



Ge résultat suffit pour donner l'équation du problème; mais il vaut 

 mieux, pour bien voir les propriétés de ces systèmes, prendre leur image 

 dans l'espace à quatre dimensions. A un réseau orthogonal (c, ) corres- 

 pond une congruence I; à une congruence telle que cd correspond un 

 réseau l\. On est donc ramené aux systèmes (/, I) ou (o, F) signalés dans 

 mon Mémoire Sur les systèmes orthogonaux et les systèmes cycliques 

 (Ann. Éc. Norm., igoS, n° 88). 



Soit alors P un point qui décrit un réseau O dans l'espace à quatre 

 dimensions; P,, P^, ... les réseaux déduits de P par l'apphcation de la 

 méthode de Laplace. Il faut exprimer que la congruence P, Po est une con- 

 gruence!. Je désigne par : 



le déterminant orthogonal qui correspond au réseau P. On voit facilement 

 que si la congruence P, P2 est I, on a entre les rotations la relation 



a^-t- e^H- nv 



