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'2. Les résultats de M. Delassus ('), sur les singularités possibles pour 

 les intégrales des équations linéaires aux dérivées partielles, imposent déjà 

 une restriction considérable à la généralité des fonctions en question. 



En effet les équations étant à coefficients constants, les multiplicités 

 régulières de/(x, y) doivent être linéaires, c'est-à-dire avoir des équations 

 de la forme ax + hy + c = o^ a, h et c étant des constantes. 



o Je vais maintenant établir la proposition suivante : Ujie fonction qua- 

 druplement périodique de deux variables, à siiigulaiités linéaires, ne peut avoir 

 plus de quatre familles différentes de singularités. Soit /(a7,y) la fonction et 

 soient 



.i' rr: consl,, / = const., a^x ~'r ^o}' =■ con?,\... 



a,:r + (3,y = const. et ao^ + (Sj/ = const. 



les cinq familles singulières distinctes supposées existantes, et dont les 

 deux premières ont été réduites à la forme indiquée par un changement 

 linéaire de variables, qui n'altère pas la nature de f(x,y). 



Soient alors (oj,, oi\), (to^,, col), (to,, oi'^) ((O4, w'^) les quatres couples de 

 périodes. 



Soient encore x — a = a, y~b = o, ap/i-h^oy — ^,, = 0, a,£i? H- ^^y— c, =0, 

 a^.f -h [^oV — Co = o, cinq multiplicités singulières des cinq familles diffé- 

 rentes supposées existantes. 



Toute multiplicité de l'espèce à quatre dimensions dont l'équation aura 

 l'une des formes suivantes : 



a; — « = "ki w, ■+- 7.2 Wj + }.3 0)3 + )i4 W4, 



i = i 



«•=■1 

 «1 a- + j3iy — c, =2 À/(a, w,+ pi w'), 



1 = 4 

 /=! 



(') y/lèse de doctorat, Paris, 1896. 



