SÉANCE DU 2.5 JANVIER IQlS. 1 33 



et les relations (i)' ne seraient plus distinctes, ce qui est contre l'hypo- 

 thèse. 



Il résulte de là que Fhypothèse faite au début, que la fonction /(x, j) a 

 cinq formules singulières dilTérentes, conduit à une contradiction. 



La fonction f{x, y) a donc, au plus, quatre formules singulières diffé- 

 rentes. 



4. Ceci étant, remarquons que toute fonction /(.x, y) peut être repré- 

 sentée, dans l'espace à quatre dimensions, par une série 



7?I = 4- 06 



(4) 2 A,„(y)[a.r-h/>y 4-c]"' + H(^, y), 



H(a;, j) étant une fonction holomorphe, dans tout domaine limité, conte- 

 nant une fonction de ax -h by -\- c = o, et pas d'autres singularités 

 de/(a:,j). 



Les fonctions A„,(r), aussi bien que H(.i',j'), sont uniformes partout et 

 les Am(y) sont doublement périodiques. 



5. D'autre ^^àvl {y o\v théorème II de ma Note du 20 juillet 1914 aux 

 Comptes rendus), une équation linéaire à coefficients constants admet tou- 

 jours une classe d'intégrales, dont chacune peut être représentée analyti- 

 quement par une somvcxQ finie de séries de la forme 



/ = + « ?rt = + » 



i= — » tn:= — ao 



où Gi{x,y) et A',^(j) sont des fonctions entières. 



Cette représentation est valable dans tout l'espace à quatre dimensions. 

 Le théorème III de la même Note montre que, si une intégrale du type 

 f{^,y) existe, elle se trouve nécessairement parmi les intégrales de cette 

 classe; elle possède donc un développement (4) et un développement (5). 

 En comparant (4) et (5) on voit que Gi(x,y)'^o et que les A'„(j)^^consl., 

 ces dernières fonctions devant êlre doublement périodiques et entières. 



D'où le théorème : 



Les seules fonctions quadruplement périodiques de x et y, ayant partout le 

 caractère d'une fonction rationnelle, pouvant être intégrales d'une équation 

 linéaire aux dérivées partielles à coefficients constants, sont celles qui possèdent 



