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la forme 



1 = 4 



^fi^oix^biy), 

 les fi étant des fonctions d'une variable. 



CALCUL DES PROBABILITÉS. — Démonstration de la loi des grands nombres. 

 Note de M. Paul Ma.vsion, présentée par M. Emile Picard. 



1. Inégalité fondamentale. — 1. Considérons deux événements contraires 

 A et B, de probabilité/) et ^ = i — p, soumis à des épreuves répétées dans 

 les mêmes circonstances, c'est-à-dire qucjo et (f sont constants. La proba- 

 bilité que l'événement A arrive plus de m fois, ou B moins de n fois, 

 sur [j. = m -\- n épreuves, est donnée par la formule suivante, où u.,, [j.^,. .., 

 p.„_, désignent les coefficients binomiaux : 



?{p) = p^--^ [J-yp^-^q + ...-+- p.„. ., />'"+' q'^'K 



2. On a 



P{p) — [m + i)iJ.n-yf .r"'{i — xY-'d;r, 







car les deux membres de cette égalité ont même dérivée par rapport k p ai 

 s'annulent pour/? = o. 



3. 0n prouve aisément, par le raisonnement de Tchebychef simplifié par 

 Bouché, pour établir la formule de Stirling, que 



, I . 2 . 3 . . . ( /JL — I ) a ( u. — I ) 2 

 ( m -!- I ) a„_i = a ! < -4= -^ ■ r • 



* jn ^ (n — I ) 

 Par suite, si a = m : (u. — i), /; = (/? — i ) : (jjl — i ), on a 



4. Posons, pour abréger, 



R = log(f"'^' + - 



