SÉANCE DU 25 JANVIER IQlS. l35 



On a R = o, pour x z=a, puis 



d^ _ {\}. — \) {a — œ) ^ j^_ r" (iJ. — i){a — t) ^^ 



dx x(^\ — j") j h{\ — t) 



La valeur maxima du produit ^ ( i — /) est j; par suite, 



P (/> )< F v/ ^^ ^ f e-^'l'-"'"-''-- dx. 



5. Posons 

 il viendra 



{a — x) \/-2 ( [J. — I ) =^2, /=:a — /? = '/ — ^; 



v/2 1 u. — n 



6. Cette inégalité fondamentale est très utile dans plusieurs questions 

 difficiles de calcul des probabilités, mais surtout dans la démonstration du 

 théorème de Jacques Bernoidli et de la loi des grands nombres de Poisson, 

 comme on va le voir. 



M. de la Vallée-Poussin a donné, en 1907, dans les Annales de la Société 

 scientifique de Bruxelles, une limite de la probabilité P (/>)qui en est plus 

 rapprochée que la nôtre. 



II. Théorème de Jacques Bernoulli. — 7. Soient m'<^m, m' -\- n' = a, 

 «'= (m' — i):((x — i), h'=/i:(u, — i), l' = h' — q =^ p — a' . La proba- 

 bilité que l'événement A arrive moins de m' fois, ou B plus de n' fois, 

 est donnée par la formule 



D'après ce qui précède, 



r)(<7) < ^- . r e-- dz. 



8. Posons 



M(/;, r/) = ,_P(^)-Q(r/). 



Cette expression sera la probabilité que, sur a = m -h n = m' -\- n' épreuves, 

 l'événement A arrive au moins m' fois, au plus m fois, ou que B arrive au 



C. R., 1915, I" Semestre. (T. 160, N" 4.) IQ 



