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moins n fois, au plus n' fois. On aura 



I > M (/>, q)>'i . ^ - / e--'- dz -=^= \ e--' dz. 



C'est le théorème de Jacques BernouUi pour u. Jini^ que nous avons 

 démontré autrement en 1902 dans le Recueil cité. 



Pour a = cc, la limite de M(/?,^) est égale à l'unité. C'est l'ancien 

 ihéorème asymplotique de Jacques BernouUi démontré dès I7i3, au moyen 

 de l'Algèbre élémentaire. 



m. Loi des grands nombres de Poisson. — 9. Supposons que, pendant 

 les [j. épreuves, la probabilité /; de A varie d'une valeur minima p^ à une 

 valeur maxima p.,, tandis que ^ = 1—^, varie d'une valeur maxima 

 q.2 = 1 ~ Pi à une valeur minima q, = i — p.,. 



Dans cette hypothèse, la probabilité P(^) que Tévénement A arrive plus 

 de m fois, ou B moins de n fois, quand p varie de p^ k p.^, est évidemment 

 inférieure à la probabilité P(/>j) correspondant au cas où p a sans cesse sa 

 valeur maxima p.,:, de même, la probabilité (}^(q) que B arrive plus de 

 n' fois, ou A moins de m' fois, quand q varie de «7, à q.j, est inférieure à la 

 probabilité Qiq-i), correspondant au cas où ^ a sans cesse sa valeur maxima. 

 La probabilité M(p,q) = 1 — P(/>) — Q(q) que A arrive au moins m' fois, 

 au plus m fois, ou que B arrive au moins n fois, au plus n' fois, sera donc 

 supérieure à i — P(p.,) — Q(7o), et a fortiori k 



^ r.-v/--:-- — - ^ re'-d: 



a = {a — /?2)v/2(^ — I), 

 P = (6'-.y,)\/2(f^-i). 



C'est la loi des grands nond)res de Poisson pour [x fini. En pratique, les 

 facteurs [\m(^n — 1), l[7i'(m'—i) sont souvent voisins de [x-, a et [3 

 de {a — p) \j[i.:ipq. 



Pour [j. = oc, M(/>, ^) a poui' limite l'unité. C'est la loi asymplotique 

 des grands nombres démontrée en 1 846 par Tchebychef avec rigueur, quoi 

 qu'on en ait dit. 



10. Evidemment, on a 



