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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une classe d' invariants intégraux . 

 Note de M, E. Goursat, présentée par M.^ppell. 



Poincaré (') et, après lui, M. Hadamard (-) ont signalé certains inva- 

 riants intégraux qui se conservent après un changement arbitraire de la 

 variable indépendante /, pourvu que les caractéristiques restent les mêmes. 

 Il existe une infinité d'invariants intégraux de tous les ordres qui jouissent 

 de cette propriété; ce sont les invariants que j'ai désignés par la notation IJ, 

 dans un travail antérieur (Journal de Mathématiques, 6'" série, t. IV, 1908, 

 p. 33i-365), et qui sont définis comme il suit : 



Soit 



dx, djc^ dx,. , 



un système d'équations diff'érentielles, où les fonctions X, sont uniformes 

 et continues ainsi que leurs dérivées et ne dépendent pas de t. Je représente 

 un invariant intégral par la notation 



(^) i,^ ff... Ja 



dXn.dXa. . . . dXn 



a,, 7.0, a,, étant p nombres entiers différents, pris parmi les n premiers 

 nombres, et la sommation étant étendue à tous les arrangements p k p 



des n premiers nombres. Deux coefficients A»,* a, et Aa'ja'g ...a),, qui ne 



diffèrent que par l'ordre des indices, sont égaux ou ne diffèrent que par le 

 signe, suivant que les deux permutations (a, a.> . . .a^,), (a, a^ . . . a|,) sont de 

 même classe ou non. 



. De l'invariant I^ on peut déduire, en général, un autre invariant 

 d'ordre p — i 



i'^) I/.-i= / / ••• / 2 ^*'*-^ ■■•«;'-' '^^«■- • -^'S—' 



ou l'on a posé 



(4) '-'a, a,, ...«,,_, ^^ ^ Ag, a.. . .. a,,_,/^( • 



(' ) Acta niathemalica, t. XIIl, p. 66 et suiv. 

 ('^) Journal de Mathématiques, 5* série, t. III, p. 080. 



Voir aussi un article de M. Dontol dans le Bulletin de la Société mathémaiùiue, 

 t. XLIl, i9i4) p> 53-91. 



