SÉANCE DU 8 FÉVRIER igiS. 20I 



j'appelle (E) l'opération qui conduit de I^ à l^,_^ . Il peut arriver que l'inva- 

 riant I^_, déduit de ]j, de cette façon soit identiquement nul; je désigne 

 par 1^, un invariant de cette espèce, c'est-à dire tel qu'on ait, pour toutes 

 les combinaisons d'indice, 



n 



(5) 2 ■^«'«"••■«f-''-'^'— ^• 



On vérifie immédiatement que tout invariant d'ordre "/> — i déduit d'un 

 invariant I^, par l'opération (E) est I^_,. Inversement, tout invariant IJ^ peut 

 se déduire d'un invariant I^,^, par l'opération (E), et en général d'une infi- 

 nité de manières, sauf si l'on a p = n — i; tout invariant I^^j se déduit d'un 

 multiplicateur déterminé par l'opération (E). Il est clair, d'autre part, qu'il 

 n'existe pas d'invariant If,, différent de zéro. 



Les invariants I^ sont caractérisés par la propriété suivante qui pourrait 

 servir à les définir. La valeur de Vinvariant intégral If, étendu à toute multi- 

 plicité (JSlp) engendrée par des courbes caractéristiques du système (i), 

 associées suivan tune loi arbitraire, est toujours nulle, et ce sont les seuls 

 invariants intégraux qui possèdent cette propriété. 



Cela étant, soit M^ une multiplicité quelconque à p dimensions dans 

 l'espace à n dimensions, non composée de caractéristiques, et limitée par 

 une multiplicité M^,_, . De chaque point m de M^ part une courbe caracté- 

 ristique G„j. Sur cette courbe caractéristique prenons un point m' suivant 

 une loi arbitraire, de façon à respecter la continuité. Lorsque le point m 

 décrit M^„ le segment mm' de caractéristique engendre une multipli- 

 cité M^+,, dont la frontière se compose de M^,, de la multiplicité M^, décrite 

 par le point m' et de la multiplicité M" engendrée par des segments de 

 caractéristiques issues des points de la multiplicité M^, , qui limite M^,. 

 Soit If un invariant intégral de l'espèce considérée. La valeur de cet inva- 

 riant intégral étendu à la frontière de M^,+, est égale, d'après une propriété 

 générale, à la valeur d'un autre invariant intégral Iy,+ ,, dont les coefficients 

 se déduisent des coefficients de V par des différenciations, étendu à la 

 multiplicité M^,^.,. Dans le travail déjà cité, j'ai démontré que cet inva- 

 riant I^,^.,, qu'on déduit ainsi de If,, est lui-même un invariant I^^^. 



Comme la multiplicité M^,^., est engendrée par des caractéristiques, la 

 valeur de If,^j, étendue à M^,^,, est nulle. D'autre part, la valeur de If,, 

 étendue à M' j, est nulle pour la même raison. Il s'ensuit que l'inté- 

 grale If, prise suivant M^, est égale à la même intégrale prise suivant Mf,. La 

 réciproque se démontre aisément de la même façon. 



