SÉANCE DU l5 FÉVRIER igiS. 22,3 



est le point R; par conséquent le point M est le centre de la sphère oscula- 

 trice h la première ligne de courbure de J; donc : 



La surface, cherchée est aussi le lieu des centres des sphères osculatrices à 

 une série de lignes de courbure d'une surface. 



Il est clair que la réciproque est exacte. Les surfaces (M) et (G,) ont 

 donc la même propriété. Soit alors M' le centre de la sphère osculatrice à 

 la première ligne de courbure de C, ; le réseau M' sera un réseau O. Je 

 désigne par C, le centre de la sphère osculatrice à la première ligne de 

 courbure de M', le réseau (Cj ) sera aussi un réseau O, etc. On a donc deux 

 séries de surfaces (M), (M'), (M"), ... et (G,), (G',), (G';), .... Les 

 surfaces d'une série ont même représentation sphérique de leurs lignes de 

 courbure; donc : 



Si Von connaît une surface satisfaisante (M) on pouj^i^a, en général^ en 

 déduire, sans aucune intégration, une série illimitée de surfaces, ayant même 

 représentation sphérique des lignes de courbure que la surface (M) eZ possé- 

 dant la propriété caractéristique de la surface (M). 



Il peut se faire d'ailleurs que la série ainsi obtenue soit limitée, en ce 

 sens qu'au bout d'un certain nombre d'opérations on retombe sur une 

 surface identique à (M). Il y a là un cas particulier très intéressant sur 

 lequel je reviendrai. 



II. Equation du problème. — Je désignerai par 



«1 «2 «3 



[3i P2 (33 



•/i y-2 7-3 



le déterminant orthogonal qui correspond au réseau (M) et par a, b, m, n 

 les rotations correspondantes. Pour trouver l'équation du problème je vais 

 exprimer que la congruence R R, est une congruence O. Soient ^,, ^o» ^37 

 '^\i "^^5 "'la ^6S paramètres normaux des tangentes au réseau R. On aura, en 

 appliquant les formules de la transformation de Laplace, 



d(3/ I dn [3,- 



on aura 



av ou 



M et N ayant des valeurs qu'il est inutile de calculer. 





