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Remarques. — Janvier 8. — La comète est une nébulosité arrondie de So" environ, 

 avec un noyau demi-stellaire, dont la j^arlie centrale est assez brillante. Grandeur r,5 

 environ. Sans queue. A la (in des observations, le ciel est un peu voilé. 



Janvier ii. — La comète a toujours l'aspect d'une nébulosité arrondie avec un 

 noyau demi-stellaire qui ressort assez bien. Grandeur 8. 



ARITHMÉTIQUE. — Sur une propriété des progressions arithmétiques. Note de 

 M. Alezais, transmise par M. Haton de la Goupillière. 



Dans deux Notes insérées au Tome 159 des Comptes rendus, pages 703 

 et 761, M. Haton de la Goupillière a étudié une propriété des progres- 

 sions arithmétiques, dont on dispose les termes en tranches superposées 

 constituant le profil d'un escalier, de telle sorte que la somme des termes 

 de chacune d'elles soit le cube des termes d'une autre progression, dérivée 

 de cette génératrice. Il a montré qu'à un type donné d'escalier, on peut 

 toujours adapter une progression et une seule, réalisant avec lui la condi- 

 tion voulue. Le problème inverse, qui consiste à trouver pour une progres- 

 sion assignée directement un escalier efficace, admet au contraire deux 

 solutions au lieu d'une, mais non plus indistinctement dans tous les cas. Ce 

 n'est plus que pour une catégorie spéciale de progressions : elle en com- 

 prend d'ailleurs un nombre infini. M. Haton de la Goupillière n'a consi- 

 déré que le cas où la raison est un multiple de 4; mais une manière plus 

 générale de rendre rationnel le radical m'a permis de laisser ce nombre 

 simplement pair. L'auteur a fait remarquer que la série des solutions, qui 

 se présente au premier abord comme à triple entrée, doit être abaissée au 

 degré double; un même escalier pouvant se présenter dans le calcul sous 

 une infinité d'aspects différents en apparence. Je me suis attaché à élucider 

 complètement ce point resté à l'état de simple indication et je suis arrivé 

 aux résultats suivants. 



On ne peut pas se donner arbitrairement à la fois la raison de la pro- 

 gression et son premier terme. Si Ton se donne seulement la raison r, il n'y 

 a pas d'escalier correspondant si /• est un entier impair. Si, au contraire, 

 r est un entier pair, il y a une simple infinité de valeurs correspondantes 

 du pi^emier terme et à chacune d'elles correspondent deux escaliers. Mais 

 cette double infinité de solutions peut se ramener à un nombre fini de 

 groupes naturels. Si l'on appelle escaliers équivalents ceux qui se déduisent 

 d'un même escalier principal par la seule suppression de quelques-unes de 



