SÉANCE DU 22 FÉVRIER I9l5 27 1 



Catholique sincère, mais discrètement enfermé dans sa conscience, il 

 meurt à l'heure où s'éteignent et espérons-le ne renaîtront pas les dissen- 

 sions stériles de partis dont il avait tant horreur et qui ont, sans profit 

 pour personne, enhardi les ennemis de notre pays, enfin redevenu lui- 

 même, et désireux, cette tourmente passée, de vivre dans une paix frater- 

 nelle, chacun n'ayant qu'un souci : contribuer de son mieux à la prospérité 

 nationale, comme l'a fait Amagat dont la pure gloire rejaillit sur la Science 

 française tout entière. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur lin nouveau théorème dans la théorie 

 des séries de Dirichlet. Note de M. G. Mittag-Leffler. 



Soit V «v e~^'S où o< A, < A.. . .< A^. . . ; lim Av=so, une série de 



^" V= 00 



V =1 



Dirichlet. On connaît depuis le travail de M. Jensen que la série est con- 

 vergente dans un demi-plan dont l'abscisse t a été déterminée par M. Cahen 

 sous la forme 



-—- log I a, + «2 + • ■ • H- «^/i I 



T = lim ■ :; 



n= • 



Cette formule a l'inconvénient qu'elle est valable seulement sous la suppo- 

 sition que t^o. Malgré plusieurs efforts on n'a réussi que tout nouvellement 

 à établir une formule embrassant en même temps le cas t<C o. J'ai donné 

 une telle formule dans mon cours à la Sorbonne (au printemps de igiS), 

 mais elle avait le désavantage qu'un certain paramètre t' soumis, il est vrai, 

 à une condition très générale, y entrait. 



Un de mes anciens élèves, qui suivait mon cours à Paris, M. Erik Lindh, 

 vient de me communiquer une autre solution du problème plus simple, 

 qui me paraît définitive, qui embrasse comme cas spécial l'expression de 

 Cauchy pour les séries de puissances, et qui en même temps paraît ouvrir 

 de nouvelles voies pour l'étude des séries de Dirichlet et des expressions 

 arithmétiques analogues plus générales. 



Je me réserve d'y revenir sous peu. 



Fixons un nombre positif quelconque K et désignons par A„_^^,^ le premier 

 nombre X;j^.jji plus grand que X,j -+- K. L'expression de M. Lindh est 



loa 



n-\-p — 1 



7 a.. 



In 



{p = i, 2, . . .,/?„; « = 1, 2, 3, . 



