272 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Supposons d'abord cette égalité remplie. On aura pour des valeurs 

 suffisamment grandes de n : 



e>-..'> 



« -1- /) — I 



2 «V 



7'>t; /J = i, 2, . . ., />„). 



La transformation connue d'Abel nous donne 



n + p~ 1 



2 ^^.^^^-'^ 



< 



e'n''. e-''ni' 



{t>o), 



(3) 



ou 



n -h />— l 



a^e' 



< 



2e-'''n('-''Ke-^' {t<o). 



En supposant / — /' > o nous aurons par conséquent, dans le cas t > o, 



(4) 



a^e 



-Ij 



<r e-'-,.''-''* + e-('>„+K)(/-r) ^ g—('k,,+tK)[i—f) 



, g-K(i-r)' 



et dans le cas ^ <; o 



(•^) 



y r/,e-V 



<; 2e' 



:.->-,.!'-'') 



, g-K{l-t'] 



L'égalité de Lindh étant remplie, la série 2 <^v^~^'^ converge par consé- 



v = l 



quent tant que / > T. 



Admettons maintenant inversement que la série de Dirichlet soit conver- 

 gente pour t ^ c- 



En prenant £ aussi petit que l'on voudra, on trouvera toujours un 



nombre n assez grand pour que 



2«v«->^' 



< £ {n^ fi). 



l^a transformation d'Abel nous donne 



n + p -- 1 



y «V 



< 



I 2 £.e' '.+,.-.' (< = o), 



I c.e>-' (^<o), 



