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ALGÈBRE. — Sur les sommes de puissances semblables des nombres entiers. 

 Note (') de M. Haton de la Goupillière. 



I. Les sommes de puissances semblables d'exposant k des nombies 

 entiers de i à /? s'évaluent chacune au moyen de toutes les précédentes, en 

 faisant successivement X- = o, i, 2, 3, ..., dans la formule classique 



(I) s,= — -jr^ -s,_. ^73—^/-^ o:^^ b,„3-.... 



.l'ai cherché à exprimer au contraire directement S/, par un polynôme 

 ordonné suivant les puissances de n. 



Dans l'égalité précédente, les termes constants se détruisent et le monôme 



flk-¥ 1 



du degré le plus élevé est y Nous poserons'donc 



(2) S/,= -^^ + A/,/?''+ B/, /«/'-» + C/.«''-^ + . . . + U/,/i^'+ V/,«, 



^ ' /.■ H- I 



à l'aide d'inconnues provisoires qui dépendent à la fois de leurs rangs et de 

 l'exposant fondamental X:. 



Formulons S/f_,, S/^^o, S/,_:,, ... en changeant successivement dansée type 

 général X: en X' — i, /• — 2, /■ — 3, ... et substituons ces expressions dans la 

 relation (i); elle deviendra 



_l_ A /,/*/• + B/, /*'•-'+ G/, n'^- -+ i-)/..w''-* -^ .. . 





2 \ .2.6 I.2.0.4 



A + 1 I 1.2 1.2.3 1.2.0.4 



/. 



I .2 

 A-(/. — i^ ^ "'^- ' 



1.2.3 V /. — ( 



AJ^_2//^-^+B^_.»^~3_^C^_â//^-M- l);^ 2/*^ • + .. 



/.(/l — l)(/. 2)/ /i''''- . , ., ,-, . , ^ /. , pv /-(T , \ 



-1 ^4-^ '- h A/, s/i''- '-^- B/,_,/i/'-*+ G/. ,«/'-^'^ - r)/.._:,/i'' '^-4-... ) 



( . 2 . 3 . 4 \ A" — 2 



En égalant séparément à zéro les coefficients des diverses puissances 



(') Séance du 22 février igiô. 



