SÉANCE DU I" MARS IQlS. 29'^ 



de /?, nous formons cet ensemble de relations 



A /,• = I 



B/,= A/, 



I . ;< 1.2 



I . y . O 1 . •?. 1.3.0 l . 2 > . /!| 



/, (/.-0(/.^2) /■• /.(A-O ^, 



1.2.0.1 1.2 1.2.0 



A/, :i- 



1 . 2 . o . '1 ■ ' 1 , ;^. . 4 . 



( )n voit que A/, est constant, et par suite B/;. multiple de k. Par consé- 

 quent, 1>/^ , renferme le facteur k—i, et C^ se trouve contenir 

 partout /■(^— i). Il s'ensuit que C/^. , est de son côté un multiple 

 de (k~ i)(/i— i>), et B/,_,. de k — 'i'^ ce qui montre que D/, présente dans 

 tous ses termes le produit /c(Â- - i) ( k — 2); et ainsi de suite. 



2. Le développement (2) prend donc la forme 



( 3 ) S^ = ^^-^ + P n'' ^- F, hn'-' -4- F, /■■ (A- - I ) n''-^ -+- P3 /.• (/. — i ) {k — 2) n'^-^ + . . . , 

 k -f- I 



avec de nouvelles inconnues P^ qui dépendent de i, mais non plus de /•, 

 lequel vient d'être mis en évidence. 



■ Pour déterminer ces coefficients, j'établirai la proposition suivante : 

 Toute somme S/, , (juel que soit son ordre k^ est divisible par le binôme n -h i . 



En efTet, la suite ( i) se termine par -, — —, c'est-à-dire -, Si l'on ramène 



'^ i A -t- 1 . /. -h I 



ce terme en tète du développement, on peut l'écrire 



et/, — — ... s, — 3, . 



/. -+- I 2 



Mais S,, qui termine maintenant la série, a lui-même pour valeur ' • 



Lors donc qu'on fera /(• = 2, on obtiendra pour S2 un multiple de // h-i; 

 puis, comme conséquence, avec ^ = 3, on aura pour S3 un semblable 

 multiple; et ainsi de suite indéfiniment. 



