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5. Les puissances (') à'' ordres prépondérants s'y trouvent disposées en 

 colonnes verticales; celles d'égal exposant s'y lisent au contraire suivant 

 des lignes parallèles inclinées. Nous pouvons également instituer des 

 formules qui nous fassent connaître les coefficients d'après ce nouvel ordre. 



A cet effet, nous ferons abstraction de l'objectif spécial (concernant les 

 nombres entiers) en vue duquel se sont trouvés introduits le polynôme (2) 

 et la formule (i). Nous les considérerons l'un et l'autre en eux-mêmes 

 comme des fonctions d'une variable continue n. On peut alors envisager 

 la dérivée S^^. Nous voyons (2) qu'elle aura comme dernier terme Y/., 

 auquel la réduira l'iiypothèse n = o. 



Différentions d'après cela l'égalité (i) mise préalablement sous la forme 



g ^ (;, + ,)/.^l-I /■■(/,■ -1) ^ k^ ^ 



Nous obtiendrons par là 



2. s ' 2 '- 1 X-H-, 



et en faisant n ^^ o 



^'—' ■•• 2.3 ^' 2^' ^' A + ,' 



car Su = //, et S,, = i . De là l'égalité 



^') /-^-^^-^2^-'-^ 2.3 ^^+ 7X4 V, + .... 



( ' ) La recherche qui précède peut aussi être abordée par une autre voie, qui semblera 

 même au premier abord plus directe. En égalant simplement S^"* à un polynôme 

 indéterminé (sans faire nullement intervenir la formule classique), on exprimera que 



S;,"+"-S';' =(n + .)/^ 



En développant cette identité et égalant les coefficients de chacune des puissances 

 de n, on se trouve conduit à la forme (3), à partir de laquelle se poursuivent les mêmes 

 calculs. 



J'ai dû toutefois préférer le mode précédent, car on sait que la méthode des coeffi- 

 cients indéterminés est à bon droit suspecte lorsqu'on l'applique sans une connais- 

 sance suffisamment précise du type cherché, de telle sorte qu'il n'y manque plus que 

 les valeurs mêmes de ses coefficients. Or la formule classique (i ) nous procure préci- 

 sément cette certitude préalable que les deux puissances extrêmes du développement 

 sont n et «*+"*. Faute de cette connaissance a priori, on se trouve entraîné dans des 

 embarras qu'il est inutile d'analyser ici, puisque nous les évitons avec la marche qui 

 a été suivie. 



