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telle que le point /> est un point de tout triangle de la suite 



(1) ta,) -l a,a.,- I a.a.ja,- ...-• 



Considérons la suite infinie des sommets 



et soit P l'ensemble formé par le point/? et par tous les points de chacun 

 des segments 



(2) Aa,...a, Aa,...a,.,, ( « r= 1 , 2, 3, . . . )• 



Plusieurs de ces segments peuvent se réduire aux points, mais une infinité d'entre eux 

 a une lonoueur positive, car autrement nous aurions A a, ... a, ^^ A^^ ^ a, _ , pour 

 <=:A-, /iH-i, ... et le point A(x,...a;. serait commun pour tous les triangles ( i ), ce 

 qui donneiait Aa,...a:== P, contre l'hypothèse que /> n'est un sommet d'aucun des 

 triangles T),^ >,,^. 



L'ensemble P est donc un ensemble infini. 11 est aisé de voir que c'est un 

 ensemble fermé et d'un seul tenant : l'ensemble P est donc un continu. 

 D'autre part, P est évidemment sous-ensemble de l'ensemble S. 



De même, en partant des suites infinies B^^ , B^^ ^^ , B^^ ^^ ^,5 • • • et Cj; , C^^^ » 

 Ga,a,a,5 • • ■ i nous défiuirons respectivement les continus Qet R. 



Je dis que les continus P, Q et R ont deux à deux seulement le point/^ 

 commun. 



En efTet, supposons que P et Q ont un point commun />', différent de/). Le point/»', 

 comme un point de P autre que/?, sera un point initial ou intérieur d'un des segments 

 de longueur non nulle de la suite (2), par exemple du segment 



(3) A-t, ... at ^"*^a, ... ai.at + , ^ 

 et, de même, pour un indice /, /?' sera un point du segment 



\a) t)a^ .., a; t)a, ... a; an 1- 



JJansle cas /.m/ on voit sans peine (en discutant séparément les trois cas «/. + , =: o. i, 2) 

 que les segments (3) et (4) n'ont pas de points communs. Si /."^ /, par exemple A << /, 

 on voit aisément que le segment (4) appartient au triangle T^, ... ai+,i tandis que tous les 

 points du segment (3), sauf le point Aa, ... aj, , sont extérieurs au triangle T^, ... ai^ ,• 

 Dans aucun de ces cas le point p' ne peut être en même temps initial ou intérieur 

 pour les segments (3) et (4). Nous avons donc démontré que les continus 1* et Q n'ont 

 pas de points communs autres que p. 



iSous avons donc démontré que tout point de la courbe C »|ui irest pas 

 un sommet du triangle T et d'aucun des triangles T)^> >_^ est un point 



