332 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Dans le système (A^), je fais la transformation 



(e) ii\cri+£t-j,, At/|s-'A;,, 



et je fais tendre i vers zéro; le système (A^) tend vers le système 





),=i 



àl\ 



Dans ma Note précitée, j'avais intégré (Aa) par des fonctions hyper- 

 elliptiques lorsque l'ordre m de (S) est égal à 2; aujourd'hui, j'indiquerai 

 brièvement la solution du cas général, notablement plus ardu. 



11 + 2 

 2. Posons B,y = 2 Aj}; il résulte de (A^) que les B^^ sont indépendants 



des f)-^ considérons d'abord le cas où l'équation en S de la matrice des B/y 

 a ses m racines distinctes, B,, . . ., B„, ; moyennant une substitution linéaire 

 on peut admettre que les termes de degré le plus élevé sont B^a?""^' dans 

 bii(œ) et AijX" dans b,-j(.x). Soit alors la courbe algébrique 



/(^•,/) = I ^/,/(^) + o,jy I =z o (ô/y = o, i ^j; ô,v= i ;/,_/ = i, ... , m). 



Il résulte de (A^_) que les coefficients de /(-t,/) sont indépendants des ti\ 

 ce sont des intégrales premières algébriques de (A^); quand ces constantes 

 sont arbitrairement choisies, /(a?, r) est de genre 



1)1 (m — 1 ) (m — i){ni — 2 ) 



p -=1 -' n -f- ^ — 



2 2 



et possède lesjo intégrales suivantes de première espèce : 



Up^(x,f) = j —^dx [o£pi(m — I — (7) (/< -H 1) — 2 ; oio-^ m — 3], 



/ f 



•% 



• y 



,tn — 1 



n 



K — an) 





delà élant, considérons les fouctions définies par 1 inversion des équations 



'y Ur,.. ( ./.•/, , j/, ) = i-.^, y u, ( xi, , yn ) — — ]■ > 



h^\ h-\ 



